Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=（ ）x﹣2x ．
（1）若f（x）= ，求x的值；
（2）若不等式f（2m﹣mcosθ）+f（﹣1﹣cosθ）＜f（0）對所有θ∈[0， ]都成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：令t=2x＞0，則 ﹣t= ，解得t=﹣4（舍）或t= ，

即2x= ，所以x=﹣26分

（2）解：因為f（﹣x）= ﹣2﹣x=2x﹣ =﹣f（x），

所以f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，7故f（0）=0，由

f（2m﹣mcosθ）+f（﹣1﹣cosθ）＜f（0）=0得：f（2m﹣mcosθ）＜f（1+cosθ）8分，

又f（x）=（ ）x﹣2x在R上單調遞減，

所以2m﹣mcosθ＞1+cosθ對所有θ∈[0， ]都成立，

所以m＞ ，θ∈[0， ]，

令μ=cosθ，θ∈[0， ]，則μ∈[0，1]，

y= =﹣1+ ，μ∈[0，1]的最大值為2，所以m的取值范圍是m＞216分

【解析】（1）由f（x）=（ ）x﹣2x= 可求得2x= ，從而可求得x的值；（2）由f（x）=（ ）x﹣2x可判斷f（x）為奇函數(shù)，且為減函數(shù)，不等式f（2m﹣mcosθ）+f（﹣1﹣cosθ）＜f（0）2m﹣mcosθ＞1+cosθ對所有θ∈[0， ]都成立，分離參數(shù)m，利用函數(shù)的單調性可求實數(shù)m的取值范圍．
【考點精析】掌握函數(shù)的值是解答本題的根本，需要知道函數(shù)值的求法：①配方法(二次或四次)；②“判別式法”；③反函數(shù)法；④換元法；⑤不等式法；⑥函數(shù)的單調性法．