(1)已知圓S:x2+y2=a2(a>0),直線l1:y=k1x+p交圓S于C、D兩點(diǎn),交直線l2:y=k2x于E點(diǎn),若k1•k2=-1,證明:E是CD的中點(diǎn);
(2)已知橢圓T:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,直線l1:y=k1x+p交橢圓T于C、D兩點(diǎn),交直線l2:y=k2x于E點(diǎn),若k1k2=-
b2
a2
.問E是否是CD的中點(diǎn),若是,請(qǐng)給出證明;若不是,請(qǐng)說明理由.
分析:(1)聯(lián)立直線l1,l2的方程,聯(lián)立直線l1與圓的方程,確定CD中點(diǎn)坐標(biāo),利用韋達(dá)定理,即可得到結(jié)論;
(2)聯(lián)立直線l1,l2的方程,聯(lián)立直線l1與圓的方程,確定CD中點(diǎn)坐標(biāo),利用韋達(dá)定理,即可得到結(jié)論.
解答:證明:(1)若k1•k2=-1,則l2:y=-
1
k1
x
,與l1:y=k1x+p聯(lián)立解得xE=-
k1p
1+k12

將l1:y=k1x+p與S:x2+y2=a2(a>0)聯(lián)立消去y,整理得(1+k12)x2+2k1px+p2-a2=0
設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),CD的中點(diǎn)為M(x0,y0),
x0=
x1+x2
2
=
1
2
(-
2k1p
1+k12
)=-
k1p
1+k12
=xE

所以E與M重合,故E是CD的中點(diǎn).            …(8分)
(2)證明:若k1k2=-
b2
a2
,則L2:y=-
b2
a2k1
x
,與l1:y=k1x+p聯(lián)立,解得xE=-
a2k1p
b2+a2k12

將l1:y=k1x+p與T:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
聯(lián)立消去y,整理得(b2+a2k12)x2+2a2k1px+a2p2-a2b2=0
設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),CD的中點(diǎn)為M(x0,y0),
x0=
x1+x2
2
=
1
2
(-
2a2k1p
b2+a2k12
)=-
a2k1p
b2+a2k12
=xE
,
所以E與M重合,故E是CD的中點(diǎn).            …(16分)
點(diǎn)評(píng):本題考查直線與直線,直線與橢圓的位置關(guān)系,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知圓C1x2+y2=1,橢圓C2
x2
3
+
2y2
3
=1
,四邊形PQRS為橢圓C2的內(nèi)接菱形.
(1)若點(diǎn)P(-
6
2
,  
3
2
)
,試探求點(diǎn)S(在第一象限的內(nèi))的坐標(biāo);
(2)若點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn),試探討菱形PQRS與圓C1的位置關(guān)系.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知圓C:x2+y2=2,坐標(biāo)原點(diǎn)為O.圓C上任意一點(diǎn)A在x軸上的射影為點(diǎn)B,已知向量
OQ
=t
OA
+(1-t)
OB
(t∈R,t≠0)

(1)求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡E的方程;
(2)當(dāng)t=
2
2
時(shí),過點(diǎn)S(0,-
1
3
)的動(dòng)直線l交軌跡E于A,B兩點(diǎn),試問:在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)T,使得以AB為直徑的圓恒過T點(diǎn)?若存在,求出點(diǎn)T的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

(1)已知圓S:x2+y2=a2(a>0),直線l1:y=k1x+p交圓S于C、D兩點(diǎn),交直線l2:y=k2x于E點(diǎn),若k1•k2=-1,證明:E是CD的中點(diǎn);
(2)已知橢圓T:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,直線l1:y=k1x+p交橢圓T于C、D兩點(diǎn),交直線l2:y=k2x于E點(diǎn),若k1k2=-
b2
a2
.問E是否是CD的中點(diǎn),若是,請(qǐng)給出證明;若不是,請(qǐng)說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年江蘇省連云港市高二(下)期末數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

(1)已知圓S:x2+y2=a2(a>0),直線l1:y=k1x+p交圓S于C、D兩點(diǎn),交直線l2:y=k2x于E點(diǎn),若k1•k2=-1,證明:E是CD的中點(diǎn);
(2)已知橢圓,直線l1:y=k1x+p交橢圓T于C、D兩點(diǎn),交直線l2:y=k2x于E點(diǎn),若.問E是否是CD的中點(diǎn),若是,請(qǐng)給出證明;若不是,請(qǐng)說明理由.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案