【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中點(diǎn).

(1)證明CD⊥AE;
(2)證明PD⊥平面ABE;

(3)求二面角A﹣PD﹣C的正切值.

【答案】
(1)證明:∵PA⊥底面ABCD,CD平面ABCD,∴PA⊥CD,

又AC⊥CD,AC∩PA=A,

∴CD⊥平面PAC,又AE平面PAC,

∴CD⊥AE;


(2)證明:∵PA⊥底面ABCD,AB平面ABCD∴PA⊥AB,

又AD⊥AB,AD∩PA=A

∴AB⊥平面PAD,又PD平面PAD∴AB⊥PD,

由PA=AB=BC,∠ABC=60°,則△ABC是正三角形.

∴AC=AB∴PA=PC

∵E是PC中點(diǎn)∴AE⊥PC

由(1)知AE⊥CD,又CD∩PC=C∴AE⊥平面PCD

∴AE⊥PD,又AB⊥PD,AB∩AE=A

∴PD⊥平面ABE;


(3)解:過E點(diǎn)作EM⊥PD于M點(diǎn),連結(jié)AM,

由(2)知AE⊥平面PCD,則AE⊥PD,

則PD⊥平面AEM,∴AM⊥PD,

則∠AME是二面角A﹣PD﹣C的平面角.

設(shè)AC=a,AD= = ,PA=A,PD= = a,

AM= = = ,

在Rt△AEM中,AE= a,EM= = = a,

則tan∠AME= = =


【解析】(1)運(yùn)用線面垂直的判定和性質(zhì)定理即可得證CD⊥AE;(2)運(yùn)用線面垂直的性質(zhì)和判定定理,即可得到PD⊥平面ABE;(3)過E點(diǎn)作EM⊥PD于M點(diǎn),連結(jié)AM,由(2)知AE⊥平面PCD,則AM⊥PD,則∠AME是二面角A﹣PD﹣C的平面角.通過解三角形AEM,即可得到所求值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某印刷廠的打印機(jī)每5年需淘汰一批舊打印機(jī)并購買新機(jī),買新機(jī)時(shí),同時(shí)購買墨盒,每臺(tái)新機(jī)隨機(jī)購買第一盒墨150元,優(yōu)惠0元;再每多買一盒墨都要在原優(yōu)惠基礎(chǔ)上多優(yōu)惠一元,即第一盒墨沒有優(yōu)惠,第二盒墨優(yōu)惠一元,第三盒墨優(yōu)惠2元,……,依此類推,每臺(tái)新機(jī)最多可隨新機(jī)購買25盒墨.平時(shí)購買墨盒按零售每盒200元.

公司根據(jù)以往的記錄,十臺(tái)打印機(jī)正常工作五年消耗墨盒數(shù)如下表:

消耗墨盒數(shù)

22

23

24

25

打印機(jī)臺(tái)數(shù)

1

4

4

1

以這十臺(tái)打印機(jī)消耗墨盒數(shù)的頻率代替一臺(tái)打印機(jī)消耗墨盒數(shù)發(fā)生的概率,記ξ表示兩臺(tái)打印機(jī)5年消耗的墨盒數(shù).

(1)求ξ的分布列;

(2)若在購買兩臺(tái)新機(jī)時(shí),每臺(tái)機(jī)隨機(jī)購買23盒墨,求這兩臺(tái)打印機(jī)正常使用五年在消耗墨盒上所需費(fèi)用的期望.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知直線l:y=4x和點(diǎn)P(6,4),點(diǎn)A為第一象限內(nèi)的點(diǎn)且在直線l上,直線PA交x軸正半軸于點(diǎn)B,
(1)當(dāng)OP⊥AB時(shí),求AB所在直線的直線方程;
(2)求△OAB面積的最小值,并求當(dāng)△OAB面積取最小值時(shí)的B的坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)= x2﹣alnx+ (a∈R) (Ⅰ)求函數(shù)f(x)單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若a=﹣1,求證:當(dāng)x>1時(shí),f(x)< x3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)= +a(a∈R)為奇函數(shù)
(1)求a的值;
(2)當(dāng)0≤x≤1時(shí),關(guān)于x的方程f(x)+1=t有解,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】若點(diǎn)P在橢圓 +y2=1上,F(xiàn)1、F2分別是橢圓的兩焦點(diǎn),且∠F1PF2=60°,則△F1PF2的面積是(
A.
B.
C.
D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在英國的某一娛樂節(jié)目中,有一種過關(guān)游戲,規(guī)則如下:轉(zhuǎn)動(dòng)圖中轉(zhuǎn)盤(一個(gè)圓盤四等分,在每塊區(qū)域內(nèi)分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4),由轉(zhuǎn)盤停止時(shí)指針?biāo)笖?shù)字決定是否過關(guān).在闖關(guān)時(shí),轉(zhuǎn)次,當(dāng)次轉(zhuǎn)得數(shù)字之和大于時(shí),算闖關(guān)成功,并繼續(xù)闖關(guān),否則停止闖關(guān),闖過第一關(guān)能獲得10歐元,之后每多闖一關(guān),獎(jiǎng)金翻倍,假設(shè)每個(gè)參與者都會(huì)持續(xù)闖關(guān)到不能過關(guān)為止,并且轉(zhuǎn)盤每次轉(zhuǎn)出結(jié)果相互獨(dú)立.

(1)求某人參加一次游戲,恰好獲得10歐元的概率;

(2)某人參加一次游戲,獲得獎(jiǎng)金歐元,求的概率分布和數(shù)學(xué)期望.

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【題目】對(duì)于三次函數(shù)f(x)=ax3bx2cxd(a0),給出定義設(shè)f(x)是函數(shù)yf(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)f(x)的導(dǎo)數(shù),若方程f(x)=0有實(shí)數(shù)解x0則稱點(diǎn)(x0,f(x0))為函數(shù)yf(x)的“拐點(diǎn)”.某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中心且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心,請(qǐng)你根據(jù)這一發(fā)現(xiàn)判斷函數(shù)的對(duì)稱中心為(  )

A. (,1) B. (-,1) C. (,-1) D. (-,-1)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x2+ ,則f(﹣1)=(
A.2
B.1
C.0
D.﹣2

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