Question

【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，在四邊形ABCD中，∠ABC=，AB=4，BC=3，CD=，AD=2，PA=4.

（1）證明：CD⊥平面PAD；

（2）求二面角B-PC-D的余弦值..

Answer 1

【答案】（1）證明見詳解；（2）

【解析】

（1）連接，證出，利用線面垂直的性質(zhì)定理可得，再利用線面垂直的判定定理即可證出.

（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的延長(zhǎng)線為，為軸，過點(diǎn)與平行線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面的一個(gè)法向量與平面的一個(gè)法向量，利用向量的數(shù)量積即可求解.

（1）連接，由∠ABC=，AB=4，BC=3，

則，

又因?yàn)?/span>CD=，AD=2，

所以，即，

因?yàn)?/span>PA⊥平面ABCD，平面ABCD，

所以，

因?yàn)?/span>，所以CD⊥平面PAD；

（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的延長(zhǎng)線為，為軸，

過點(diǎn)與平行線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：

作交與點(diǎn)，

，即，

所以，，

所以，

所以，，，，

則，，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則，即，

令，則，，即，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則，即，

令，則，，即，

由，

所以二面角B-PC-D的余弦值為.