Question

若關(guān)于x的不等式對任意n∈N^*在x∈（-∞，λ]上恒成立，則實常數(shù)λ的取值范圍是________．

Answer 1

（-∞，-1]
分析：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得當n∈N^*時，的最大值為，則可將問題轉(zhuǎn)化為在x∈（-∞，λ]上恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得實常數(shù)λ的取值范圍．
解答：當n∈N^*時，的最大值為
則關(guān)于x的不等式對任意n∈N^*在x∈（-∞，λ]上恒成立，
即在x∈（-∞，λ]上恒成立，
∵f（x）=的圖象是開口朝上，且以x=為對稱軸的拋物線
則當λ≤時，f（x）=在（-∞，λ]上單調(diào)遞減，
若f（x）≥0，即f（λ）≥0，解得λ≤-1
當λ＞時，f（x）=在（-∞，]上單調(diào)遞減，[，λ]單調(diào)遞增
若f（x）≥0，即f（）≥0，此時不滿足條件
綜上λ≤-1
即常數(shù)λ的取值范圍是（-∞，-1]
點評：本題考查的知識點是函數(shù)恒成立問題，其中熟練掌握指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．