【題目】如圖,橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,軸,直線軸于點(diǎn),為橢圓上的動點(diǎn),的面積的最大值為1.

(1)求橢圓的方程;

(2)過點(diǎn)作兩條直線與橢圓分別交于且使軸,如圖,問四邊形的兩條對角線的交點(diǎn)是否為定點(diǎn)?若是,求出定點(diǎn)的坐標(biāo);若不是,請說明理由.

【答案】(1)(2)定點(diǎn)坐標(biāo)為.

【解析】

(Ⅰ)意味著通徑的一半,最大面積為,所以,故橢圓的方程為.

(Ⅱ)根據(jù)對稱性,猜測定點(diǎn)必定在軸上,故可設(shè),則,,再設(shè),根據(jù)三點(diǎn)共線可以得到,聯(lián)立直線和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程后消去,利用韋達(dá)定理可以得到,從而過定點(diǎn),同理直線也過即兩條直線交于定點(diǎn).

(Ⅰ)設(shè),由題意可得,即.

的中位線,且,

,即,整理得.①

又由題知,當(dāng)在橢圓的上頂點(diǎn)時,的面積最大,

,整理得,即,②

聯(lián)立①②可得,變形得,解得,進(jìn)而.

∴橢圓的方程式為.

(Ⅱ)設(shè),,則由對稱性可知,.

設(shè)直線軸交于點(diǎn),直線的方程為,

聯(lián)立,消去,得,

,,

三點(diǎn)共線,即

,代入整理得

,從而,化簡得,解得,于是直線的方程為, 故直線過定點(diǎn).同理可得過定點(diǎn),

∴直線的交點(diǎn)是定點(diǎn),定點(diǎn)坐標(biāo)為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和為,離心率為

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)若直線的斜率為,直線與橢圓C交于兩點(diǎn).點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn),求的面積的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)函數(shù).

(1)當(dāng),的單調(diào)區(qū)間和極值

(2)若直線是曲線的切線,的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)定義域?yàn)?/span>,設(shè).

1)試確定的取值范圍,使得函數(shù)上為單調(diào)函數(shù);

2)求證:;

3)求證:對于任意的,總存在,滿足,并確定這樣的的個數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】為考查某種疫苗預(yù)防疾病的效果,進(jìn)行動物實(shí)驗(yàn),得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下:

未發(fā)病

發(fā)病

總計(jì)

未注射疫苗

20

注射疫苗

30

總計(jì)

50

50

100

現(xiàn)從所有試驗(yàn)動物中任取一只,取到“注射疫苗”動物的概率為.

1)求列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),的值;

2)能夠有多大把握認(rèn)為疫苗有效?

(參考公式,)

0.05

0.01

0.005

0.001

3.841

6.635

7.879

10.828

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)fx=-x2+ef′(x

(Ⅰ)求fx)的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)若存在x1,x2x1x2),使得fx1+fx2=1,求證:x1+x22

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某校學(xué)生會為了解該校學(xué)生對2017年全國兩會的關(guān)注情況,隨機(jī)調(diào)查了該校200名學(xué)生,并將這200名學(xué)生分為對兩會“比較關(guān)注”與“不太關(guān)注”兩類.已知這200名學(xué)生中男生比女生多20人,對兩會“比較關(guān)注”的學(xué)生中男生人數(shù)與女生人數(shù)之比為,對兩會“不太關(guān)注”的學(xué)生中男生比女生少5人.

(1)根據(jù)題意建立列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認(rèn)為男生與女生對兩會的關(guān)注有差異?

(2)該校學(xué)生會從對兩會“比較關(guān)注”的學(xué)生中根據(jù)性別進(jìn)行分層抽樣,從中抽取7人,再從這7人中隨機(jī)選出2人進(jìn)行回訪,求這2人全是男生的概率.

參考公式和數(shù)據(jù):,其中

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在全面抗擊新冠肺炎疫情這一特殊時期,我市教育局提出停課不停學(xué)的口號,鼓勵學(xué)生線上學(xué)習(xí).某校數(shù)學(xué)教師為了調(diào)查高三學(xué)生數(shù)學(xué)成績與線上學(xué)習(xí)時間之間的相關(guān)關(guān)系,對高三年級隨機(jī)選取45名學(xué)生進(jìn)行跟蹤問卷,其中每周線上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時間不少于5小時的有19人,余下的人中,在檢測考試中數(shù)學(xué)平均成績不足120分的占,統(tǒng)計(jì)成績后得到如下列聯(lián)表:

分?jǐn)?shù)不少于120

分?jǐn)?shù)不足120

合計(jì)

線上學(xué)習(xí)時間不少于5小時

4

19

線上學(xué)習(xí)時間不足5小時

合計(jì)

45

1)請完成上面列聯(lián)表;并判斷是否有99%的把握認(rèn)為高三學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與學(xué)生線上學(xué)習(xí)時間有關(guān);

2)在上述樣本中從分?jǐn)?shù)不少于120分的學(xué)生中,按照分層抽樣的方法,抽到線上學(xué)習(xí)時間不少于5小時和線上學(xué)習(xí)時間不足5小時的學(xué)生共5名,若在這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人,求至少1人每周線上學(xué)習(xí)時間不足5小時的概率.

(下面的臨界值表供參考)

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

(參考公式 其中

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù),其中a∈R.

(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性;

(Ⅱ)當(dāng) 時,設(shè)、為曲線上任意兩點(diǎn),曲線在點(diǎn)處的切線斜率為k,證明:

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