Question

正項(xiàng)數(shù)列滿足，

（1）若，求的值；

（2）當(dāng)時(shí)，證明： ；

（3）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)之積為，若對任意正整數(shù)，總有成立，求的取值范圍

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2） ；

（3）實(shí)數(shù)的取值范圍是

【解析】（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052016093490623509/SYS201205201612170937456181_DA.files/image005.png">所以，解得或（舍去）

由的任意性知，    ……………3分

（2）反證法：假設(shè)      ……………4分

即，則得

依此類推，這與矛盾。

所以假設(shè)不成立，則            ……………7分

（3）由題知，當(dāng)時(shí)，，

所以

同理有

將上述個(gè)式子相乘，得，

即  ……………11分

當(dāng)時(shí)，也成立，

所以     ……………12分

從而要使對任意的恒成立，

只要使對任意的恒成立即可。

因?yàn)閿?shù)列單調(diào)遞增，所以  ……………13分

即

所以實(shí)數(shù)的取值范圍是      

又a>0, 所以實(shí)數(shù)的取值范圍是………14分