Question

已知兩個(gè)命題r（x）：sinx+cosx＞m，s（x）：x²+mx+1＞0．如果對(duì)?x∈R，r（x）與s（x）有且僅有一個(gè)是真命題．求實(shí)數(shù)m的取值范圍

{m|m≤-2或-

2

≤m＜2}

．

Answer 1

分析：先求出命題r（x）與s（x）成立的等價(jià)條件，利用r（x）與s（x）有且僅有一個(gè)是真命題．確定實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：∵sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)≥-

2

，
∴要使sinx+cosx＞m恒成立，則m＜-

2

，
即：r（x）：m＜-

2

．
若x²+mx+1＞0成立，則△=m²-4＜0，
解得-2＜m＜2，
即s（x）：-2＜m＜2．
若對(duì)?x∈R，r（x）與s（x）有且僅有一個(gè)是真命題，
若r（x）為真，s（x）為假，則

m＜- 2 m≥2或m≤-2

，解得m≤-2．
若r（x）為假，s（x）為真，則

m≥- 2 -2＜m＜2

，解得-

2

≤m＜2．
綜上：m≤-2或-

2

≤m＜2．
故答案為：{m|m≤-2或-

2

≤m＜2}．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查復(fù)合命題與簡(jiǎn)單命題之間的關(guān)系，利用函數(shù)的性質(zhì)求出命題成立的等價(jià)條件是解決的關(guān)鍵．