Question

18．在等比數(shù)列{a_n}中，已知a₂=2，a₅=16．設(shè)S_2n為該數(shù)列的前2n項(xiàng)和，T_n為數(shù)列{a_n²}的前n項(xiàng)和．若S_2n=tT_n，則實(shí)數(shù)t的值為3．

Answer 1

分析 設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，由a₂=2，a₅=16．可得a₁q=2，${a}_{1}{q}^{4}$=16，聯(lián)立解得a₁，q．可得S_2n．a(chǎn)_n．同理可得：T_n．利用S_2n=tT_n，即可得出．

解答 解：設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，∵a₂=2，a₅=16．∴a₁q=2，${a}_{1}{q}^{4}$=16，
聯(lián)立解得a₁=1，q=2．
S_2n=$\frac{{2}^{2n}-1}{2-1}$=4ⁿ-1．
a_n=2^n-1，${a}_{n}^{2}$=2^2n-2．
T_n為數(shù)列{a_n²}的前n項(xiàng)和．∴T_n=$\frac{{4}^{n}-1}{4-1}$=$\frac{1}{3}（{4}^{n}-1）$．
∵S_2n=tT_n，∴4ⁿ-1=t×$\frac{1}{3}（{4}^{n}-1）$．
解得t=3．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、方程的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．