Question

（本小題滿分12分）已知動點(diǎn)M到點(diǎn)A(2,0)的距離是它到點(diǎn)B(8,0)的距離的一半，求：
(1) 動點(diǎn)M的軌跡方程；
(2) 若N為線段AM的中點(diǎn)，試求點(diǎn)N的軌跡．

Answer 1

(1) x²＋y²＝16； (2) 以(1,0)為圓心，2為半徑的圓．

試題分析：(1)設(shè)動點(diǎn)M(x，y)為軌跡上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)M的軌跡就是集合P＝{M||MA|＝|MB|}．
由兩點(diǎn)間距離公式，點(diǎn)M適合的條件可表示為
＝.
平方后再整理，得x²＋y²＝16.   可以驗證，這就是動點(diǎn)M的軌跡方程．
(2)設(shè)動點(diǎn)N的坐標(biāo)為(x，y)，M的坐標(biāo)是(x₁，y₁)．
由于A(2,0)，且N為線段AM的中點(diǎn)，
所以x＝，y＝.
所以有x₁＝2x－2，y₁＝2y.①
由(1)知，M是圓x²＋y²＝16上的點(diǎn)，
所以M的坐標(biāo)(x₁，y₁)滿足＋＝16.②
將①代入②整理，得(x－1)²＋y²＝4.     所以N的軌跡是以(1,0)為圓心，2為半徑的圓．
點(diǎn)評：求曲線的軌跡方程常采用的方法有直接法、定義法、相關(guān)點(diǎn)代入法、參數(shù)法。本題主要是利用直接法和相關(guān)點(diǎn)代入法，直接法是將動點(diǎn)滿足的幾何條件或者等量關(guān)系，直接坐標(biāo)化，列出等式化簡即得動點(diǎn)軌跡方程。相關(guān)點(diǎn)代入法 是根據(jù)相關(guān)點(diǎn)所滿足的方程，通過轉(zhuǎn)換而求動點(diǎn)的軌跡方程。