Question

已知函數(shù)f（x）=+cx+d（a，c，d∈R）滿足f（0）=0，f'（1）=0，且f'（x）≥0在R上恒成立．
（1）求a，c，d的值；
（2）若，解不等式f'（x）+h（x）＜0；
（3）是否存在實(shí)數(shù)m，使函數(shù)g（x）=f'（x）-mx在區(qū)間[m，m+2]上有最小值-5？若存在，請求出實(shí)數(shù)m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵f（0）=0，∴d=0
∴
∵恒成立
顯然a=0時(shí)，上式不能恒成立∴是二次函數(shù)
由于對一切x∈R，都有f'（x）≥0，于是由二次函數(shù)的性質(zhì)可得
即．
（2）∵∴
∴
即
當(dāng)，當(dāng)．
（3）∵，∴
∴
該函數(shù)圖象開口向上，且對稱軸為x=2m+1．
假設(shè)存在實(shí)數(shù)m使函數(shù)區(qū)間[m．m+2]上有最小值-5．
①當(dāng)m＜-1時(shí)，2m+1＜m，函數(shù)g（x）在區(qū)間[m，n+2]上是遞增的．
∴
解得∵，∴舍去
②當(dāng)-1≤m＜1時(shí)，m≤2m+1＜m+2，函數(shù)g（x）在區(qū)間[m，2m+1]上是遞減的，
而在區(qū)間[2m+1，m+2]上是遞增的，∴g（2m+1）=-5．
即
解得，均應(yīng)舍去
③當(dāng)m≥1時(shí)，2m+1≥m+2，函數(shù)g（x）在區(qū)間[m，m+2]上遞減的∴g（m+2）=-5
即
解得應(yīng)舍去．
綜上可得，當(dāng)時(shí)，
函數(shù)g（x）=f'（x）-mx在區(qū)間[m，m+2]上有最小值-5．
分析：（1）待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，由f（0）=0，f'（1）=0，且f'（x）≥0在R上恒成立列出三個(gè)方程，解出a、b、c
（2）一元二次不等式解法，注意根之間比較，考查分類討論思想
（3）考查二次函數(shù)最值問題，考查分類討論思想，對m進(jìn)行討論，看對稱軸與區(qū)間的關(guān)系．
點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，具體包含導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、恒成立問題、不等式的解法、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)最值問題，分類討論思想，對學(xué)生有一定的能力要求，屬于難題．