已知橢圓C：（a>b>0），過點(0，1)，且離心率為．
(1)求橢圓C的方程；
(2)A，B為橢圓C的左右頂點，直線l：x=2與x軸交于點D，點P是橢圓C上異于A，B的動點，直線AP，BP分別交直線l于E，F(xiàn)兩點．證明：當點P在橢圓C上運動時，恒為定值．

（1），（2）1．

解析試題分析：（1）求橢圓標準方程，基本方法為待定系數(shù)法.只需兩個獨立條件確定即可. 由b=1，可解得a=2，故橢圓的方程為，（2）證明橢圓定值問題，實際是以算代征.即需計算出為一個常數(shù)．由于點D在x軸上，所以,即只需計算E，F(xiàn)兩點縱坐標. 由直線AP： 與直線l：x=2的交點得: ,即，同理可得，因此==1。
試題解析：（1）由題意可知，b=1，
又因為，且a2=b2+c2，解得a=2
所以橢圓的方程為                  4
（2）由題意可得：A（﹣2，0），B（2，0）．
設P（x0，y0），由題意可得：﹣2＜x0＜2，
所以直線AP的方程為             6
令，則，即        8
同理：直線BP的方程為，令，則，
即         10
所以
=                    ..12
而，即4y02=4﹣x02，代入上式，
所以|DE|·|DF|=1，所以|DE|·|DF|為定值1．                14
考點：橢圓標準方程，直線與橢圓位置關系

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標系xOy中，F(xiàn)是拋物線C：x2＝2py(p>0)的焦點，M是拋物線C上位于第一象限內的任意一點，過M，F(xiàn)，O三點的圓的圓心為Q，點Q到拋物線C的準線的距離為.
(1)求拋物線C的方程；
(2)是否存在點M，使得直線MQ與拋物線C相切于點M？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓的離心率為，過橢圓右焦點作兩條互相垂直的弦與．當直線斜率為0時，．

（1）求橢圓的方程；
（2）求的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，已知雙曲線的左、右頂點分別為A1、A2，動直線l：y＝kx＋m與圓相切，且與雙曲線左、右兩支的交點分別為．

(1)求k的取值范圍，并求的最小值；
(2)記直線的斜率為，直線的斜率為，那么是定值嗎？證明你的結論．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設:的準線與軸交于點,焦點為;橢圓以為焦點,離心率.設是的一個交點.

(1)當時,求橢圓的方程.
(2)在(1)的條件下,直線過的右焦點,與交于兩點,且等于的周長,求的方程.
(3)求所有正實數(shù),使得的邊長是連續(xù)正整數(shù).

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知拋物線的準線與x軸交于點M，過點M作圓的兩條切線，切點為A、B，.
（1）求拋物線E的方程；
（2）過拋物線E上的點N作圓C的兩條切線，切點分別為P、Q，若P，Q，O（O為原點）三點共線，求點N的坐標.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓（a＞b＞0）的離心率為，且過點（）．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設直線l:y=kx+t與圓（1＜R＜2）相切于點A，且l與橢圓E只有一個公共點B.
①求證：；
②當R為何值時，取得最大值？并求出最大值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知平面上的動點P（x，y）及兩個定點A（-2，0），B（2，0），直線PA，PB的斜率分別為K1，K2且K1K2=－
(1).求動點P的軌跡C方程；
(2).設直線L：y=kx+m與曲線C交于不同兩點，M，N，當OM⊥ON時，求O點到直線L的距離（O為坐標原點）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，橢圓 (a>b>0)的上、下頂點分別為A、B，已知點B在直線l：上，且橢圓的離心率e =．

(1)求橢圓的標準方程；
(2)設P是橢圓上異于A、B的任意一點，PQ⊥y軸，Q為垂足，M為線段PQ中點，直線AM交直線l于點C，N為線段BC的中點，求證：OM⊥MN．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案