Question

【題目】已知點P(2,2),圓，過點P的動直線l與圓C交于A,B兩點,線段AB的中點為M,O為坐標原點.

(1)求點M的軌跡方程;

(2)當|OP|=|OM|時,求l的方程及△POM的面積.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)直線的方程為，的面積為.

【解析】

求得圓的圓心和半徑.

（1）當三點均不重合時，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知，是定點，所以的軌跡是以為直徑的圓（除兩點），根據(jù)圓的圓心和半徑求得的軌跡方程.當三點有重合的情形時，的坐標滿足上述求得的的軌跡方程.綜上可得的軌跡方程.

（2）根據(jù)圓的幾何性質(zhì)（垂徑定理），求得直線的斜率，進而求得直線的方程.根據(jù)等腰三角形的幾何性質(zhì)求得的面積.

圓，故圓心為，半徑為.

(1)當C,M,P三點均不重合時,∠CMP=90°,所以點M的軌跡是以線段PC為直徑的圓(除去點P,C),線段中點為，，故的軌跡方程為(x-1)2+(y-3)2=2(x≠2,且y≠2或x≠0,且y≠4).

當C,M,P三點中有重合的情形時,易求得點M的坐標為(2,2)或(0,4).

綜上可知,點M的軌跡是一個圓,軌跡方程為(x-1)2+(y-3)2=2.

(2)由(1)可知點M的軌跡是以點N(1,3)為圓心，為半徑的圓.

由于|OP|=|OM|,故O在線段PM的垂直平分線上.又P在圓N上,從而ON⊥PM.因為ON的斜率為3,所以的斜率為，故的方程為，即.

又易得|OM|=|OP|=，點O到的距離為，，

所以△POM的面積為.