Question

已知A、D分別為橢圓E： 的左頂點與上頂點，橢圓的離心率，F_1­、F₂為橢圓的左、右焦點，點P是線段AD上的任一點，且的最大值為1 ．

（1）求橢圓E的方程；

（2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且OAOB（O為坐標原點），若存在，求出該圓的方程；若不存在，請說明理由；

（3）設直線l與圓相切于A₁，且l與橢圓E有且僅有一個公共點B₁，當R為何值時，|A₁B₁|取得最大值？并求最大值．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B；（3）1.

【解析】本試題主要是考查了橢圓的 方程的求解，以及直線與橢圓的位置關(guān)系的運用并結(jié)合了直線與圓的位置關(guān)系來考查線段長度的最值問題的運用。

（1）設P (x，y)，F₁ (–c，0)，F₂（c，0），其中

則

看作線段AD上的點P (x，y)到原點距離的平方，

∴P在A點，x² + y²最大，∴a² – c² = 1，

又．………………4分

（2）由（1）知橢圓方程為，

①設圓心在原點的圓的一條切線為y = kx + t，．

解方程組……………5分

要使切線與橢圓恒有兩個交點A， B，則使

即，………………………………6分

要使

所以5t² – 4k² – 4 = 0，即5t² = 4k² + 4且t²＜4k² + 1，即4k² + 4＜20k² + 5恒成立．

又因為直線y = kx + t為圓心在原點的圓的一條切線，

所以圓的半徑為r =……………7分

②當切線的斜率不存在時，切線為滿足．

綜上，存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B．                        ……………………8分

（3）設直線l的方程為y = mx + n，因為直線l與圓C：x² + y² = R² (1＜R＜2)相切于A₁，

由（2）知  ①，    因為l與橢圓只有一個公共點B₁，由（2）知有唯一解，

則即4m² – n² + 1 = 0，   ②

由①②得此時A，B重合為B₁ (x₁，y₁)點，由x₁ = x₂，所以B₁ (x₁，y₁)點在橢圓上，所以

，在直角三角形OA₁B₁中，|A₁B₁|² = |OB₁|² – |OA₁|² =

5

因為時取等號，所以

即當時|A₁B₁|取得最大值，最大值為1．………………………………13分