Question

對(duì)于任意的復(fù)數(shù)z=x+yi（x，y∈R），定義運(yùn)算P（z）=x²[cos（yπ）+isin（yπ）]．
（1）集合A={ω|ω=P（z），|z|≤1，Rez，Imz均為整數(shù)}，試用列舉法寫(xiě)出集合A；
（2）若z=2+yi（y∈R），P（z）為純虛數(shù)，求|z|的最小值；
（3）直線(xiàn)l：y=x-9上是否存在整點(diǎn)（x，y）（坐標(biāo)x，y均為整數(shù)的點(diǎn)），使復(fù)數(shù)z=x+yi經(jīng)運(yùn)算P后，P（z）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)也在直線(xiàn)l上？若存在，求出所有的點(diǎn)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）

z=x+yi |z|≤1

?x2+y2≤1
由于x，y∈Z，得

x=±1 y=0

，

x=0 y=±1

，

x=0 y=0

∴P（±1）=1，P（±i）=0，P（0）=0，
∴A={0，1}
（2）若z=2+yi（y∈R），則P（z）=4[cos（yπ）+isin（yπ）]
若P（z）為純虛數(shù)，則

cosyπ=0 sinyπ≠0

∴y=k+

1

2

，k∈Z
∴|z|=

22+y2

=

(k+ 1 2 )2+4

，k∈Z
∴當(dāng)k=0或-1時(shí)，|z|min=

17

2

．
（3）P（z）對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為（x²cos（yπ），x²sin（yπ））
由題意：

y=x-9 x2sinyπ=x2cosyπ-9 x，y∈Z

得x²sin（xπ-9π）=x²cos（xπ-9π）-9
所以 x²sinxπ=x²cosxπ+9∵x∈Z
∴①當(dāng)x=2k，k∈Z時(shí)，得x²+9=0不成立；
②當(dāng)x=2k+1，k∈Z時(shí)，得x²-9=0∴x=±3成立
此時(shí)

x=3 y=-6

或 

x=-3 y=-12

即z=3-6i或z=-3-12i．