Question

設(shè)，且，其中當為偶數(shù)時，；當為奇數(shù)時，．
（1）證明：當，時，；
（2）記，求的值．

Answer 1

(1)證明見解析；(2)

試題分析：（1）從題設(shè)可以看出本題要分類，按的奇偶性來分類，如當為奇數(shù)時，都是偶數(shù)，，，，
通過計算，應(yīng)用公式可得結(jié)論，當然為偶數(shù)時也同樣證明；（2）待求式子比較難，，
把的系數(shù)變?yōu)?，有

由公式，上式可變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240432595241563.png" style="vertical-align:middle;" />
，而由（1）可得數(shù)列是周期為6的周期數(shù)列，故，從而計算得.
試題解析：（1）當為奇數(shù)時，為偶數(shù)，為偶數(shù)，
∵，，
，
∴
=．
∴當為奇數(shù)時，成立．       5分
同理可證，當為偶數(shù)時，也成立．       6分
（2）由，得

=
=
=．       9分
又由，得，所以，．    10分