Question

（2008•南京模擬）某電視臺(tái)的一個(gè)智力游戲節(jié)目中，有一道將四本由不同作者所著的外國(guó)名著A、B、C、D與它們的作者連線的題目，每本名著只能與一名作者連線，每名作者也只能與一本名著連線．每連對(duì)一個(gè)得3分，連錯(cuò)得-1分，一名觀眾隨意連線，他的得分記作ξ．
（1）求該觀眾得分ξ為非負(fù)的概率；
（2）求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意可得：其連對(duì)題目的個(gè)數(shù)為：0，1，2，4，所以ξ的可能取值為-4，0，4，12，再分別計(jì)算出其得分為非負(fù)的概率，進(jìn)而得到答案．
（2）由題意可得：P（ξ=-4）=

9

A 4 4

=

9

24

，再結(jié)合（1）可得ξ的分布列與其數(shù)學(xué)期望．

解答：解：（1）因?yàn)橹苯佑?jì)算ξ的數(shù)值比較困難，
所以首先計(jì)算其連對(duì)題目的個(gè)數(shù)．
根據(jù)題意可得：其連對(duì)題目的個(gè)數(shù)為：0，1，2，4，
所以ξ的可能取值為-4，0，4，12．  …（1分）
因?yàn)槊�觀眾隨意連線，所以有A₄⁴種不同的連法，
所以P（ξ=12）=

1

A 4 4

=

1

24

；…（3分）
P（ξ=4）=

C 2 4

A 4 4

=

6

24

=

1

4

；…（5分）
P（ξ=0）=

C 1 4 ×2

A 4 4

=

8

24

=

1

3

；…（7分）
所以該同學(xué)得分非負(fù)的概率為P（ξ=12）+P（ξ=4）+P（ξ=0）=

15

24

=

5

8

．…（8分）
（2）由題意可得：P（ξ=-4）=

9

A 4 4

=

9

24

=

3

8

．
所以ξ的分布列為：

ξ	-4	0	4	12
P	3 8	1 3	1 4	1 24

…（10分）
所以數(shù)學(xué)期望Eξ=-4×

3

8

+4×

1

4

+12×

1

24

=0．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握排列、組合與計(jì)數(shù)原理的有關(guān)知識(shí)，以及等可能事件的概率公式與離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望等知識(shí)，此題屬于中檔題，是高考命題的熱點(diǎn)之一．