(2012•廣東)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,滿足2Sn=an+1-2n+1+1,n∈N*,且a1,a2+5,a3成等差數(shù)列.
(1)求a1的值;
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(3)證明:對(duì)一切正整數(shù)n,有
1
a1
+
1
a2
+
1
a3
+…+
1
an
3
2
分析:(1)在2Sn=an+1-2n+1+1中,令分別令n=1,2,可求得a2=2a1+3,a3=6a1+13,又a1,a2+5,a3成等差數(shù)列,從而可求得a1;
(2)由2Sn=an+1-2n+1+1,2Sn+1=an+2-2n+2+1得an+2=3an+1+2n+1①,an+1=3an+2n②,由①②可知{an+2n}為首項(xiàng)是3,3為公比的等比數(shù)列,從而可求an;
(3)(法一),由an=3n-2n=(3-2)(3n-1+3n-2×2+3n-3×22+…+2n-1)≥3n-1可得
1
an
1
3n-1
,累加后利用等比數(shù)列的求和公式可證得結(jié)論;
(法二)由an+1=3n+1-2n+1>2×3n-2n+1=2an可得,
1
an+1
1
2
1
an
,于是當(dāng)n≥2時(shí),
1
a3
1
2
1
a2
1
a4
1
2
1
a3
,
1
a5
1
2
1
a4
,…,
1
an
1
2
1
an-1
,累乘得:
1
an
(
1
2
)
n-2
1
a2
,從而可證得
1
a1
+
1
a2
+
1
a3
+…+
1
an
3
2
解答:解:(1)在2Sn=an+1-2n+1+1中,
令n=1得:2S1=a2-22+1,
令n=2得:2S2=a3-23+1,
解得:a2=2a1+3,a3=6a1+13
又2(a2+5)=a1+a3
解得a1=1
(2)由2Sn=an+1-2n+1+1,
2Sn+1=an+2-2n+2+1得an+2=3an+1+2n+1,
又a1=1,a2=5也滿足a2=3a1+21,
所以an+1=3an+2n對(duì)n∈N*成立
∴an+1+2n+1=3(an+2n),又a1=1,a1+21=3,
∴an+2n=3n,
∴an=3n-2n;
(3)(法一)
∵an=3n-2n=(3-2)(3n-1+3n-2×2+3n-3×22+…+2n-1)≥3n-1
1
an
1
3n-1
,
1
a1
+
1
a2
+
1
a3
+…+
1
an
≤1+
1
3
+
1
32
+…+
1
3n-1
=
1×(1-(
1
3
)
n
)
1-
1
3
3
2
;
(法二)∵an+1=3n+1-2n+1>2×3n-2n+1=2an,
1
an+1
1
2
1
an
,,
當(dāng)n≥2時(shí),
1
a3
1
2
1
a2
,
1
a4
1
2
1
a3
,
1
a5
1
2
1
a4

1
an
1
2
1
an-1
,
累乘得:
1
an
(
1
2
)
n-2
1
a2
,
1
a1
+
1
a2
+
1
a3
+…+
1
an
≤1+
1
5
+
1
2
×
1
5
+…+(
1
2
)
n-2
×
1
5
7
5
3
2
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列與不等式的綜合,考查數(shù)列遞推式,著重考查等比數(shù)列的求和,著重考查放縮法的應(yīng)用,綜合性強(qiáng),運(yùn)算量大,屬于難題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

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(1)求a1的值;
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•廣東)設(shè)i為虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)
3+4i
i
=( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•廣東)設(shè)i是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)
5-6i
i
=( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•廣東)設(shè)0<a<1,集合A={x∈R|x>0},B={x∈R|2x2-3(1+a)x+6a>0},D=A∩B.
(1)求集合D(用區(qū)間表示)
(2)求函數(shù)f(x)=2x3-3(1+a)x2+6ax在D內(nèi)的極值點(diǎn).

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