【題目】已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且an>0,an2+an=2Sn .
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)令bn= ,記Tn=b12b32…b2n﹣12 , 求證:Tn≥ .
【答案】
(1)解:∵an2+an=2Sn,
∴an﹣12+an﹣1=2Sn﹣1,
∴an2+an﹣an﹣12﹣an﹣1=2an,
∴(an+an﹣1)(an﹣an﹣1﹣1)=0,
∵an>0,
∴an﹣an﹣1﹣1=0,
∴an﹣an﹣1=1,
∵n=1時(shí)
∴a12+a1=2S1=2a1,
解得a1=1,
∴數(shù)列{an}是以為首項(xiàng)以1為公差的等差數(shù)列,
∴an=1+(n﹣1)=n
(2)解:∵bn= = ,
∴數(shù)列{bn}是遞增數(shù)列,
∴b2n>b2n﹣1,
∴b2nb2n﹣1>(b2n﹣1)2,
∴Tn=b12b32…b2n﹣12≥b1b1b2b3b4…b2n= × × × ×…× × = ,當(dāng)n=1時(shí)取等號(hào),
∴Tn≥
【解析】(1)利用遞推關(guān)系可得an2+an=2Sn , an﹣12+an﹣1=2Sn﹣1 , 兩式相減化簡后得到an﹣an﹣1=1,繼而得到數(shù)列{an}是以為首項(xiàng)以1為公差的等差數(shù)列,求出通項(xiàng)公式即可(2)bn= = ,數(shù)列{bn}是遞增數(shù)列,利用放縮法即可證明.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式,掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系;如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示,那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式即可以解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一個(gè)路口的紅綠燈,紅燈亮的時(shí)間為40秒,黃燈亮的時(shí)間為5秒,綠燈亮的時(shí)間為50秒(沒有兩燈同時(shí)亮),當(dāng)你到達(dá)路口時(shí),看見下列三種情況的概率各是多少?
(1)紅燈;
(2)黃燈;
(3)不是紅燈.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】公元263年左右,我國數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)現(xiàn)當(dāng)圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時(shí),多邊形面積可無限逼近圓的面積,并創(chuàng)立了“割圓術(shù)”,利用“割圓術(shù)”劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位的近似值,這就是著名的“徽率”,如圖是利用劉徽的“割圓術(shù)”思想設(shè)計(jì)的一個(gè)程序框圖,則輸出的值為 ( )
(參考數(shù)據(jù): )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知方程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0.
(1)若此方程表示圓,求m的取值范圍;
(2)若(1)中的圓與直線x+2y﹣4=0相交于M、N兩點(diǎn),且OM⊥ON(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求m的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓過點(diǎn), , 分別為橢圓的右、下頂點(diǎn),且.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)點(diǎn)在橢圓內(nèi),滿足直線, 的斜率乘積為,且直線, 分別交橢圓于點(diǎn), .
(i) 若, 關(guān)于軸對稱,求直線的斜率;
(ii) 求證: 的面積與的面積相等.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知{an}是一個(gè)等差數(shù)列,且a2=1,a5=﹣5.
(1)求{an}的通項(xiàng)an;
(2)求{an}前n項(xiàng)和Sn的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某城市為了滿足市民出行的需要和節(jié)能環(huán)保的要求,在公共場所提供單車共享服務(wù),某部門為了對該城市共享單車進(jìn)行監(jiān)管,隨機(jī)選取了位市民對共享單車的情況逬行問卷調(diào)査,并根根據(jù)其滿意度評分值(滿分分)制作的莖葉圖如圖所示:
(1)分別計(jì)算男性打分的平均數(shù)和女性打分的中位數(shù);
(2)從打分在分以下(不含分)的市民抽取人,求有女性被抽中的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知各項(xiàng)不為零的數(shù)列的前項(xiàng)和為,且, , .
(1)若成等比數(shù)列,求實(shí)數(shù)的值;
(2)若成等差數(shù)列,
①求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
②在與間插入個(gè)正數(shù),共同組成公比為的等比數(shù)列,若不等式對任意的恒成立,求實(shí)數(shù)的最大值.
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