Question

已知線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A、B分別在x軸和y軸上滑動(dòng)，且|AB|=2．
（1）求線段AB的中點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）求過(guò)點(diǎn)M（1，2）且和軌跡C相切的直線方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)P（x，y），由|AB|=2，且P為AB的中點(diǎn)，可得|OP|=1，由兩點(diǎn)間的距離公式求得點(diǎn)P的軌跡方程．
（2）①當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，由條件易得x=1符合條件；②當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)出切線方程，由切線的性質(zhì)可
解得斜率k的值，用點(diǎn)斜式求得切線方程．

解答：解：（1）設(shè)P（x，y），∵|AB|=2，且P為AB的中點(diǎn)，∴|OP|=1，∴點(diǎn)P的軌跡方程為x²+y²=1．
（2）①當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，切線方程為x=1，由條件易得x=1符合條件；
②當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為y-2=k（x-1），即kx-y+2-k=0，由

|2-k|

k2+1

=1，
解得k=

3

4

，∴切線方程為y-2=

3

4

（x-1），即3x-4y+5=0．
綜上，過(guò)點(diǎn)M（1，2）且和軌跡C相切的直線方程為：x=1或3x-4y+5=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)軌跡方程的求法，兩點(diǎn)間的距離公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，注意考慮切線的斜率不存在的情況，這是易錯(cuò)點(diǎn)，屬于中檔題．