設實數(shù)x,y同時滿足條件:4x2-9y2=36,且xy<0.
(1)求函數(shù)y=f(x)的解析式和定義域;
(2)判斷函數(shù)y=f(x)的奇偶性;
(3)若方程f(x)=k(x-1)(k∈R)恰有兩個不同的實數(shù)根,求k的取值范圍.
分析:(1)由4x2-9y2=36,知y=±
2
3
x2-9
,由4x2-36=9y2>0,知x>3,x<-3,由此能求出函數(shù)y=f(x)的定義域.
(2)當x<-3有-x>3,f(-x)=-
2
3
(-x)2-9
=-
2
3
x2-9
=-f(x),同理,當x>3時,有f(-x)=-f(x).由此能夠推導出f(x)為定義域上的奇函數(shù).
(3)聯(lián)立方程組
4x2-9y2=36
y=k(x-1)
可得,(4-9k2)x2+18k2x-(9k2+36)=0,由此分類討論能夠求出k的取值范圍.
解答:解:(1)∵4x2-9y2=36,
y=±
2
3
x2-9

∵xy<0,∴y≠0.
又∵4x2-36=9y2>0,
∴x>3,x<-3.
∵xy<0,
f(x)=
2
3
x2-9
(x<-3)
-
2
3
x2-9
(x>3)

函數(shù)y=f(x)的定義域為集合D={x∈R|x>3,x<-3}.
(2)當x<-3有-x>3,f(-x)=-
2
3
(-x)2-9
=-
2
3
x2-9
=-f(x),
同理,當x>3時,有f(-x)=-f(x).
任設x∈D,有f(-x)=-f(x),
∴f(x)為定義域上的奇函數(shù).
(3)聯(lián)立方程組
4x2-9y2=36
y=k(x-1)
,
可得,(4-9k2)x2+18k2x-(9k2+36)=0,
(Ⅰ)當k2=
4
9
時,即k=±
2
3
時,方程只有唯一解,與題意不符;
k≠±
2
3

(Ⅱ)當k2
4
9
時,即方程為一個一元二次方程,
要使方程有兩個相異實數(shù)根,
則△=(18k22+4×(4-9k2)(9k2+36)>0.
解之得  -
2
2
<k<
2
2
,但由于函數(shù)f(x)的圖象在第二、四象限.
故直線的斜率k<0,
綜上可知-
2
2
<k<-
2
3
-
2
3
<k<0
點評:本題考查函數(shù)的性質和綜合運用,解題時要認真審題,仔細解答,注意挖掘題設中的隱含條件,合理地進行等價轉化.
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