Question

等比數列{c_n}滿足，n∈N^*，數列{a_n}滿足
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）數列{b_n}滿足，T_n為數列{b_n}的前n項和．求；
（3）是否存在正整數m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比數列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可得，c₁+c₂=10，c₂+c₃=40，結合等比數列的通項公式可求公比q及c₁，代入等比數列的通項公式可求c_n，然后由可求a_n，
（2）由=，考慮利用裂項求和即可求解T_n，進而可求
（3）假設否存在正整數m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比數列，結合（2）代入可得，解不等式可求m的范圍，然后結合m∈N^*，m＞1可求
解答：解：（1）解：由題意可得，c₁+c₂=10，c₂+c₃=c₁q+c₂q=40，
所以公比q=4（2分）
∴c₁+4c₁=10
∴c₁=2（3分）
由等比數列的通項公式可得，（4分）
∵=2^2n-1
∴a_n=2n-1（15分）
（2）∵=
∴（6分）
于是（8分）
∴=（10分）
（3）假設否存在正整數m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比數列，
則，（12分）
可得，
由分子為正，解得，
由m∈N^*，m＞1，得m=2，此時n=12，
當且僅當m=2，n=12時，T₁，T_m，T_n成等比數列．             （16分）
說明：只有結論，m=2，n=12時，T₁，T_m，T_n成等比數列．若學生沒有說明理由，則只能得 13分
點評：本題主要考查了等比數列的通項公式的應用，數列的裂項求和方法的應用，屬于數列知識的綜合應用