Question

如果對(duì)于定義在R上的函數(shù)f（x），其圖象是連續(xù)不斷的，而且存在常數(shù)λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf （x）=0對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，則稱f（x） 是一個(gè)“λ-伴隨函數(shù)”．有下列關(guān)于“λ-伴隨函數(shù)”的結(jié)論：①f（x）=0 是常數(shù)函數(shù)中唯一個(gè)“λ-伴隨函數(shù)”；②f（x）=x²是一個(gè)“λ-伴隨函數(shù)”；③“-伴隨函數(shù)”至少有一個(gè)零點(diǎn)．其中不正確的序號(hào)是

1. A.
   ①②
2. B.
   ②③
3. C.
   ③
4. D.
   ①

Answer 1

A
分析：根據(jù)“λ-伴隨函數(shù)”的定義，可得f（x）=C（C是常數(shù)）必定是“λ-伴隨函數(shù)”，f（x）=0不是唯一一個(gè)，故①不正確；
假設(shè)f（x）=x²是一個(gè)“λ-伴隨函數(shù)”，得（1+λ）x²+2λx+λ²=0對(duì)任意實(shí)數(shù)x成立，而找不到λ使上式成立，故f（x）=x²不是一個(gè)“λ-伴隨函數(shù)”，②不正確；根據(jù)“λ-伴隨函數(shù)”的定義，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在性定理，可證出“-伴隨函數(shù)”至少有一個(gè)零點(diǎn)，得③正確．由此可得正確答案．
解答：對(duì)于①，設(shè)f（x）=C（C是常數(shù)）是一個(gè)“λ-伴隨函數(shù)”，則f（x+λ）+λf （x）=（1+λ）C=0，
當(dāng)λ=-1時(shí)，C可以取遍實(shí)數(shù)集，因此f（x）=C（C是常數(shù)）必定是“λ-伴隨函數(shù)”，
可得f（x）=0 不是常數(shù)函數(shù)中唯一個(gè)“λ-伴隨函數(shù)”，故①不正確；
對(duì)于②，假設(shè)f（x）=x²是一個(gè)“λ-伴隨函數(shù)”，則f（x+λ）+λf （x）=（x+λ）²+λx²=0，
即（1+λ）x²+2λx+λ²=0對(duì)任意實(shí)數(shù)x成立，所以λ+1=2λ=λ²=0，而找不到λ使此式成立，
所以f（x）=x²不是一個(gè)“λ-伴隨函數(shù)”，故②不正確．
對(duì)于③，令x=0，得f（0+）+f（0）=0，所以f（）=-f（0）．
當(dāng)f（0）=0時(shí)，顯然f（x）=0有實(shí)數(shù)根；
當(dāng)f（0）≠0時(shí)，f（）•f（0）=-[f（0）]²＜0．因?yàn)楹瘮?shù)f（x）函數(shù)圖象是連續(xù)不斷的，
所以f（x）在（0，）上必有實(shí)數(shù)根，
綜上所述，因此“-伴隨函數(shù)”至少有一個(gè)零點(diǎn)．故③正確．
故答案為：A
點(diǎn)評(píng)：本題給出抽象函數(shù)，叫我們找出三個(gè)命題中的假命題，著重考查了基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)零點(diǎn)存在性定理等知識(shí)，屬于中檔題．