設(shè)函數(shù)f(x)=ex-e-x
(Ⅰ)證明:f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)≥2;
(Ⅱ)若對(duì)所有x≥0都有f(x)≥ax,求a的取值范圍.
(Ⅰ)f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)=ex+e-x
由于ex+e-x≥2
exe-x
=2
,故f'(x)≥2.
(當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí),等號(hào)成立).
(Ⅱ)令g(x)=f(x)-ax,則g'(x)=f'(x)-a=ex+e-x-a,
(ⅰ)若a≤2,當(dāng)x>0時(shí),g'(x)=ex+e-x-a>2-a≥0,
故g(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),
所以,x≥0時(shí),g(x)≥g(0),即f(x)≥ax.
(ⅱ)若a>2,方程g'(x)=0的正根為x1=ln
a+
a2-4
2
,
此時(shí),若x∈(0,x1),則g'(x)<0,故g(x)在該區(qū)間為減函數(shù).
所以,x∈(0,x1)時(shí),g(x)<g(0)=0,即f(x)<ax,與題設(shè)f(x)≥ax相矛盾.
綜上,滿足條件的a的取值范圍是(-∞,2].
練習(xí)冊(cè)系列答案
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A.
19
3
B.
13
3
C.
10
3
D.
16
3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

已知在R上可導(dǎo)的函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,則不等式f(x)•f′(x)<0的解集為( 。
A.(-2,0)B.(-∞,-2)∪(-1,0)C.(-∞,-2)∪(0,+∞)D.(-2,-1)∪(0,+∞)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

已知函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo),且f(x)=x2+2xf′(2),則函數(shù)f(x)的解析式為( 。
A.f(x)=x2+8xB.f(x)=x2-8xC.f(x)=x2+2xD.f(x)=x2-2x

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

已知函數(shù)f(x)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)記為f′(x),若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,有f(x)>f′(x),且y=f(x)-1為奇函數(shù),則不等式f(x)<ex的解集為(  )
A.(-∞,0)B.(0,+∞)C.(-∞,e4D.(e4,+∞)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

若以曲線(c為實(shí)常數(shù))上任意一點(diǎn)為切點(diǎn)的切線的斜率恒為非負(fù)數(shù),則實(shí)數(shù)b的取值范圍為                        

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

已知f(x)=x2+1,則f′(0)的值是( 。
A.2B.-2C.0D.2x

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