Question

（本題14分）．在四棱錐中，底面是矩形，平面，，．以的中點(diǎn)為球心、為直徑的球面交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．

（1）求直線與平面所成的角的正弦值；

（2）求點(diǎn)到平面的距離．

 

Answer 1

【答案】

 

（1）

（2）

【解析】解法一：，又，則是的中點(diǎn)，故

，，

則，

設(shè)D到平面ACM的距離為，由，有，可求得，

設(shè)直線與平面所成的角為，則．

（2）可求得PC=6．因?yàn)?i>AN⊥NC，由，得PN．

所以．故N點(diǎn)到平面ACM的距離等于P點(diǎn)到平面ACM距離的．

又因?yàn)?i>M是PD的中點(diǎn)，則P、D到平面ACM的距離相等，由⑵可知所求距離為．

解法二：

 

（1）如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，， ，，；

設(shè)平面的一個(gè)法向量，由，

可得：，令，則．

設(shè)所求角為，則．

（2）由條件可得，．在中，，

所以，則，，

所以所求距離等于點(diǎn)到平面距離的，

設(shè)點(diǎn)到平面距離為，則，故所求距離為．