Question

已知函數(shù)f(x)=1-

2

2x+t

（t是常實(shí)數(shù)）．
（1）若函數(shù)的定義為R，求y=f（x）的值域；
（2）若存在實(shí)數(shù)t使得y=f（x）是奇函數(shù)，證明y=f（x）的圖象在g（x）=2^x+1-1圖象的下方．

Answer 1

分析：（1）先把定義為R轉(zhuǎn)化為2^x+t≠0恒成立，求出t的取值范圍，再對(duì)t分情況討論求出對(duì)應(yīng)y=f（x）的值域；
（2）由y=f（x）是奇函數(shù)得t=1，再把兩個(gè)函數(shù)作差，整理后利用基本不等式求出差的最值即可證明結(jié)論．

解答：解：（1）因?yàn)?^x+t≠0恒成立，所以t≥0，（2分）
當(dāng)t=0時(shí)，y=f（x）的值域?yàn)椋?∞，1）；（4分）
當(dāng)t＞0時(shí)，由y=1-

2

2x+t

得，2x=

2-t+ty

1-y

＞0，
因而

y-(1- 2 t )

y-1

＜0
即y=f（x）的值域?yàn)?span id="e0yucyo" class="MathJye">(1-

2

t

，1)．（6分）
（2）由y=f（x）是奇函數(shù)得t=1，所以f(x)=1-

1

2x+1

（8分）
f(x)-g(x)=1-

2

2x+1

-(2•2x-1)，f(x)-g(x)=4-[

2

2x+1

+2(2x+1)]≤0（11分）
當(dāng)“=”成立時(shí)，必有

2

2x+1

=2(2x+1)，即2^x=0，此式顯然不成立．（13分）
所以對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f（x）＜g（x）
即y=f（x）的圖象在g（x）=2^x+1-1圖象的下方．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)恒成立問(wèn)題以及函數(shù)奇偶性的應(yīng)用和函數(shù)圖象間的關(guān)系的轉(zhuǎn)化，是對(duì)函數(shù)知識(shí)的綜合考查，屬于中檔題目．