Question

已知函數(shù)y=x³+ax²﹣5x+b在x=﹣1處取得極值2．

（I）求實數(shù)a和b；

（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點：

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)在某點取得極值的條件．

專題：

導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．

分析：

（I）先求函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)f（x）在x=﹣1處取得極值2得到，解方程即可；

（Ⅱ）在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出單調(diào)區(qū)間即可．

解答：

解：（1）由于f'（x）=3x²+2ax﹣5

而函數(shù)y=x³+ax²﹣5x+b在x=﹣1處取得極值2，則f'（﹣1）=0，f（﹣1）=2

即解得

故實數(shù)a和b都為﹣1；

（2）由于f′（x）=3x²+2ax﹣5=（3x﹣5）（x+1）

若令f′（x）＞0，則；若令f^′（x）＜0，則．

故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：（﹣∞，﹣1），；f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為：．

點評：

本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)的零點和函數(shù)在某點取得極值的條件，屬于基礎(chǔ)題．