已知二次函數(shù)f(x)的二次項(xiàng)系數(shù)為a,且不等式f(x)>-2x的解集為(1,3).
(Ⅰ)若方程f(x)+6a=0有兩個(gè)相等的根,求f(x)的解析式;
(Ⅱ)若f(x)的最大值為正數(shù),求a的取值范圍.
分析:(Ⅰ)f(x)為二次函數(shù)且二次項(xiàng)系數(shù)為a,把不等式f(x)>-2x變形為f(x)+2x>0因?yàn)樗慕饧癁椋?,3),則可設(shè)f(x)+2x=a(x-1)(x-3)且a<0,解出f(x);又因?yàn)榉匠蘤(x)+6a=0有兩個(gè)相等的根,利用根的判別式解出a的值得出f(x)即可;(Ⅱ)因?yàn)閒(x)為開(kāi)口向下的拋物線,利用公式當(dāng)x=
-時(shí),最大值為
=
-.和a<0聯(lián)立組成不等式組,求出解集即可.
解答:解:(Ⅰ)∵f(x)+2x>0的解集為(1,3).f(x)+2x=a(x-1)(x-3),且a<0.因而f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax
2-(2+4a)x+3a.①
由方程f(x)+6a=0得ax
2-(2+4a)x+9a=0.②
因?yàn)榉匠挞谟袃蓚(gè)相等的根,所以△=[-(2+4a)]
2-4a•9a=0,
即5a
2-4a-1=0.解得a=1或a=-
.由于a<0,舍去a=1.將a=-
代入①得f(x)的解析式
f(x)=-x2-x-.(Ⅱ)由
f(x)=ax2-2(1+2a)x+3a=a(x-)2-及a<0,可得f(x)的最大值為
-.就
由
解得a<-2-
或-2+
<a<0.
故當(dāng)f(x)的最大值為正數(shù)時(shí),實(shí)數(shù)a的取值范圍是
(-∞,-2-)∪(-2+,0). 點(diǎn)評(píng):考查學(xué)生函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用能力.