【題目】如圖,在四棱錐EABCD中,底面ABCD為矩形,平面ABCD⊥平面ABE,∠AEB90°,BEBC,FCE的中點(diǎn),

1)求證:AE∥平面BDF

2)求證:平面BDF⊥平面ACE;

32AEEB,在線段AE上找一點(diǎn)P,使得二面角PDBF的余弦值為,求P的位置.

【答案】1)見解析(2)見解析(3PE處.

【解析】

1)通過證明FGAE即可證明;

2)通過證明BF⊥平面ACE,即可證得面面垂直;

3)建立空間直角坐標(biāo)系,利用兩個(gè)半平面法向量關(guān)系求解.

證明:(1)設(shè)ACBDG,連接FG,易知GAC的中點(diǎn),

FEC中點(diǎn).

∴在△ACE中,FGAE,

AE平面BFD,FG平面BFD,

AE∥平面BFD

2)∵平面ABCD⊥平面ABE,BCAB,

平面ABCD平面ABEAB

BC⊥平面ABE,又∵AE平面ABE

BCAE,

又∵AEBEBCBEB,

AE⊥平面BCE,即AEBF

在△BCE中,BECB,FCE的中點(diǎn),

BFCE,AECEE,

BF⊥平面ACE,

BF平面BDF

∴平面BDF⊥平面ACE

3)如圖建立坐標(biāo)系,設(shè)AE1,

B2,0,0),D0,1,2),C20,2),F1,01),

設(shè)P0,a,0),,,

設(shè)平面BDF的法向量為,且,

則由得﹣2x1+y1+2z10,

得﹣x1+z10,

z11x11,y10,從而

設(shè)平面BDP的法向量為,且,則

得﹣2x2+y2+2z20,

2x2ay20

y22x2a,z2a1,從而,

,

解得a0a1(舍)

PE處.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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