Question

【題目】已知橢圓的焦距為4．且過(guò)點(diǎn)．

（1）求橢圓E的方程；

（2）設(shè)，，，過(guò)B點(diǎn)且斜率為的直線l交橢圓E于另一點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)Q，直線AM與直線相交于點(diǎn)P．證明：（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)題意可求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)橢圓的定義即可求出，然后根據(jù)求出，即可得到橢圓E的方程（或直接根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，以及，即可解出）；

（2）由直線l的方程可得點(diǎn)，聯(lián)立直線l與橢圓的方程可計(jì)算出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)聯(lián)立直線與直線的方程可得點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)斜率公式分別計(jì)算出直線的斜率，根據(jù)斜率相等，即可證得．

（1）由題可知，，，

橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，．

由橢圓的定義知，

，，

橢圓E的方程為．

（另解：由題可知，解得）．

（2）易得，，，

直線與橢圓聯(lián)立，得，

，從而，．

直線AM的斜率為，直線AM的方程為．

令，得，

直線PQ的斜率．

直線OC的斜率，

，從而．