Question

【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+4xsinα+tanα(0<a<)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)

(Ⅰ)求sin2a的值;

(Ⅱ)若cos2β+2sin2β=+sinβ, β∈,求β-2α的值

Answer 1

【答案】(1);(2).

【解析】試題分析：（1）函數(shù)f(x)=x2+4xsinc+tanα(0<a<)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于關(guān)于x的方程x2+4xsinα+tanα=0(0<a<)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,即判別式等于0，解出即可；(2)原式子等價(jià)于1-2sin2β+2sin2β=+sinβ,解得sinβ=，故得到cosβ=-，根據(jù)兩角和差公式得到cos(β-2α)=-，進(jìn)而得到角的值.

解析：

(I)函數(shù)f(x)=x2+4xsinc+tanα(0<a<)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于關(guān)于x的方程x2+4xsinα+tanα=0(0<a<)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,

所以△=16sin2α-tanα=0,即16sin2α-·=0,

整理,得2sinαcosα=,即sin2α=,

(Ⅱ)因?yàn)閏os2β+2sin2β=+sinβ,

所以1-2sin2β+2sin2β=+sinβ,解得sinβ=,

又β∈(),所以cosβ=-=-,

由(I)得sin2α=.且0<2α<,所以cos2a=,

所以cos(β-2α)= cosβcos2α+ sinβsin2α=(-) ×+×=-

由<β<,0<2α<,知0<β-2α<,故β-2α=.