【題目】已知中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的離心率為,點(diǎn)(0,)是橢圓與y軸的一個(gè)交點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)直線x=2與橢圓交于P,Q兩點(diǎn),點(diǎn)P位于第一象限,A,B是橢圓上位于直線x=2兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn);
①若直線AB的斜率為,求四邊形APBQ面積的取值范圍;
②當(dāng)點(diǎn)A,B在橢圓上運(yùn)動(dòng),且滿足∠APQ=∠BPQ時(shí),直線AB的斜率是否為定值?若是,求出此定值;若不是,說明理由.
【答案】(1);(2)見解析
【解析】
⑴設(shè)橢圓的方程為=1(a>b>0),由橢圓的性質(zhì)求出,由此求得橢圓的方程
⑵①設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的方程為,與橢圓聯(lián)立,得到,由此利用韋達(dá)定理,弦長(zhǎng)公式求出四邊形APBQ的面積的取值范圍
②當(dāng)時(shí),設(shè)直線PA的方程為,分別與橢圓方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理即可求得答案
(1)設(shè)橢圓的方程為=1(a>b>0),由題意可知,b=,a2=b2+c2,解得a=2,
∴橢圓C的方程為=1.
(2)①設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的方程為y=x+t,
聯(lián)立
消y可得,2x2+4tx+4t2-8=0,
即x2+2tx+2t2-4=0,
則有x1+x2=-2t,x1x2=2t2-4.
對(duì)于=1,令x=2,得P(2,1),Q(2,-1),
將P,Q分別代入直線可得,t=0,t=-2,
由點(diǎn)A,B在直線x=2的兩側(cè),故-2<t<0,
四邊形APBQ的面積為
S=S△APQ+S△BPQ
=|PQ|·|x2-x1|
=×2×|x2-x1|
=
=,
而-2<t<0,所以0<S四邊形APBQ<4.
②當(dāng)∠APQ=∠BPQ時(shí),直線PA,PB的斜率之和為0,
不妨設(shè)直線PA的斜率為k,則直線PB的斜率為-k,
所以直線PA的方程為y-1=k(x-2),
即kx-y+1-2k=0,
聯(lián)立
消去y可得,(1+4k2)x2+8k(1-2k)x+4(1-2k)2-8=0,
所以x1+2=.
同理直線PB的方程為y-1=-k(x-2),
可得,x2+2=,
所以x1+x2=,x1-x2=,
所以kAB=
=
=
=,
故直線AB的斜率為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)生社團(tuán)對(duì)本校學(xué)生學(xué)習(xí)方法開展問卷調(diào)查的過程中發(fā)現(xiàn),在回收上來的1000份有效問卷中,同學(xué)們背英語單詞的時(shí)間安排有兩種:白天背和晚上臨睡前背。為研究背單詞時(shí)間安排對(duì)記憶效果的影響,該社團(tuán)以5%的比例對(duì)這1000名學(xué)生按時(shí)間安排進(jìn)行分層抽樣,并完成一項(xiàng)試驗(yàn),試驗(yàn)方法是:使兩組學(xué)生記憶40個(gè)無意義音節(jié)(如xiq,geh),均要求剛能全部記清就停止識(shí)記,并在8小時(shí)后進(jìn)行記憶測(cè)驗(yàn)。不同的是,甲組同學(xué)識(shí)記結(jié)束后一直不睡覺,8小時(shí)后測(cè)驗(yàn);乙組同學(xué)識(shí)記停止后立刻睡覺,8小時(shí)后叫醒測(cè)驗(yàn)。兩組同學(xué)識(shí)記停止8小時(shí)后的準(zhǔn)確回憶(保持)情況如圖(區(qū)間含左端點(diǎn)不含右端點(diǎn))。
(1)估計(jì)1000名被調(diào)查的學(xué)生中識(shí)記停止8小時(shí)后40個(gè)音節(jié)的保持率大于或等于60%的人數(shù);
(2)從乙組準(zhǔn)確回憶個(gè)數(shù)在范圍內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)選3人,記:能準(zhǔn)確回憶20個(gè)以上(含20)的人數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望;
(3)從本次試驗(yàn)的結(jié)果來看,上述兩種時(shí)間安排方法中哪種方法背英語單詞記憶效果更好?計(jì)算并說明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ex[ x3﹣2x2+(a+4)x﹣2a﹣4],其中a∈R,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)若函數(shù)f(x)的圖象在x=0處的切線與直線x+y=0垂直,求a的值;
(2)關(guān)于x的不等式f(x)<﹣ ex在(﹣∞,2)上恒成立,求a的取值范圍;
(3)討論函數(shù)f(x)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓G:=1(a>b>0)的離心率為,經(jīng)過左焦點(diǎn)F1(-1,0)的直線l與橢圓G相交于A,B兩點(diǎn),與y軸相交于點(diǎn)C,且點(diǎn)C在線段AB上.
(1)求橢圓G的方程;
(2)若|AF1|=|CB|,求直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)數(shù)列{an}滿足a1+a2+…+an+2n= (an+1+1),n∈N* , 且a1=1,求證:
(1)數(shù)列{an+2n}是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ex+be﹣x , (b∈R),函數(shù)g(x)=2asinx,(a∈R).
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若b=﹣1,f(x)>g(x),x∈(0,π),求a取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在極坐標(biāo)系中,已知圓C的圓心C( , ),半徑r= .
(1)求圓C的極坐標(biāo)方程;
(2)若α∈[0, ),直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),直線l交圓C于A、B兩點(diǎn),求弦長(zhǎng)|AB|的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知曲線C1的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,兩坐標(biāo)系取相同的單位長(zhǎng)度,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=﹣2sin(θ+ ).
(1)把曲線C1的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程;
(2)求曲線C1與C2的交點(diǎn)M(ρ1 , θ1)的極坐標(biāo),其中ρ1≤0,0≤θ1<2π.
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