已知f(x)=
a(x-1)2
2x+b
,曲線y=f(x)
與直線l:4x+3y-5=0切于點A的橫坐標(biāo)為2,g(x)=2x-
1
3

(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)若對于一切x∈[2,5],總存在x1∈[m,n],使f(x)=g(x1)成立,求n-m的最小值.
分析:(1)求出導(dǎo)函數(shù),利用f(2)=-1,f′(2)=-
4
3
,即可求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)求導(dǎo)函數(shù),令f′(x)=
6x(x-1)
(2x-1)2
0,可得函數(shù)的遞增區(qū)間;令f′(x)<0,可得單調(diào)遞減區(qū)間;
(3)對于一切x∈[2,5],函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,可得-
16
3
≤f(x)≤-1
,要使總存在x1∈[m,n],使f(x)=g(x1)成立,則2m-
1
3
≤-
16
3
,2n-
1
3
≥-1
,由此可求n-m的最小值.
解答:解:(1)由題意,f(2)=-1,f′(2)=-
4
3

f(x)=
a(x-1)2
2x+b

f′(x)=
2a(x+b+1)(x-1)
(2x+b)2

a
4+b
=-1
,
2a(b+3)
(4+b)2
=-
4
3

解得a=-3,b=-1,
f(x)=-
3(x-1)2
2x-1

(2)∵f(x)=-
3(x-1)2
2x-1
,∴f′(x)=
6x(x-1)
(2x-1)2
,x≠
1
2

f′(x)=
6x(x-1)
(2x-1)2
0,可得0<x<
1
2
,或
1
2
<x<1
;令f′(x)<0,可得x<0或x>1;
∴函數(shù)的遞增區(qū)間為(0,
1
2
),(
1
2
,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,0),(1,+∞)
(3)對于一切x∈[2,5],函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,所以-
16
3
≤f(x)≤-1

g(x)=2x-
1
3
,要使總存在x1∈[m,n],使f(x)=g(x1)成立,則2m-
1
3
≤-
16
3
,2n-
1
3
≥-1

m≤-
5
2
,n≥-
1
3

n-m≥
13
6

當(dāng)m=-
5
2
,n=-
1
3
時,n-m的最小值為
13
6
點評:本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用,考查函數(shù)的單調(diào)性,考查存在性問題,正確求導(dǎo),確定函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)=2cos(ωx+θ),(x∈R,0≤θ≤
π
2
)
,g(x)=ex-x2+2ax-1,(x∈R,a為實數(shù)),y=f(x)的圖象與y軸交于點(0,
3
)
,且在該點處切線的斜率為-2.
(I)若點A(
π
2
,0)
,點P是函數(shù)y=f(x)圖象上一點,Q(x0,y0)是PA的中點,當(dāng)y0=
3
2
,x0∈[
π
2
,π]
時,求x0的值;
(II)當(dāng)a>1+ln2時,試問:是否存在曲線y=f(x)與y=g(x)的公切線?并證明你的結(jié)論.

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已知f(x)在實數(shù)集上是減函數(shù),若a+b≤0,則下列正確的是(  )

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已知f(x)的定義域是x≠0的一切實數(shù),對于定義域內(nèi)任意的x1,x2都有f(x1•x2)=f(x1)+f(x2),且當(dāng)x>1時,f(x)>0,f(2)=1.
(1)求證f(x)是偶函數(shù);
(2)求證f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù);
(3)若f(a+1)>f(a)+1,求實數(shù)a的取值范圍.

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已知f(x)是定義在(0,+∞)上的函數(shù),且對任意正數(shù)x,y都有f(xy)=f(x)+f(y),且當(dāng)x>1時,f(x)>0.
(1)證明f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù);
(2)若f(3)=1,集合A={x|f(x)>f(x-1)+2},B={x|f(
(a+1)x-1x+1
)>0,a∈R}
,A∩B=∅,求實數(shù)a的取值范圍.

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