Question

設(shè)a為實(shí)數(shù)，記函數(shù)的最大值為g（a）．
（1）設(shè)t=，求t的取值范圍，并把f（x）表示為t的函數(shù)m（t）；
（2）求g（a）．

Answer 1

【答案】分析：（1）令，由1+x≥0且1-x≥0，得-1≤x≤1，再由，且t≥0…①，可得t的取值范圍是，進(jìn)而得m（t）的解析式．
（2）由題意知g（a）即為函數(shù)m（t）=，的最大值，直線是拋物線m（t）=的對(duì)稱軸，分a＞0、a=0、a＜0三種情況利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)f（x）的最大值為g（a）．
解答：解：（1）∵，∴要使t有意義，必須1+x≥0且1-x≥0，即-1≤x≤1．
∵，且t≥0…①，∴t的取值范圍是．
由①得：，∴=，．
（2）由題意知g（a）即為函數(shù)m（t）=，的最大值，
∵直線是拋物線m（t）=的對(duì)稱軸，∴可分以下幾種情況進(jìn)行討論：
1）當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)y=m（t），的圖象是開口向上的拋物線的一段，
由知m（t）在上單調(diào)遞增，故g（a）=m（2）=a+2；
2）當(dāng)a=0時(shí)，m（t）=t，在上單調(diào)遞增，有g(shù)（a）=2；
3）當(dāng)a＜0時(shí)，，函數(shù)y=m（t），的圖象是開口向下的拋物線的一段，
若即時(shí)，g（a）=，
若即時(shí)，g（a）=，
若∈（2，+∞）即時(shí)，g（a）=m（2）=a+2．
綜上所述，有g(shù)（a）=．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的求法，函數(shù)解析式求解的方法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想．