設(shè)函數(shù)f(x)=sinxcosx-
3
cos(x+π)cosx
(x∈R)
(I)求函數(shù)f(x)圖象的對稱軸方程和對稱中心坐標(biāo);
(II)若函數(shù)y=f(x)的圖象按
b
=(
π
4
,
3
2
)
平移后得到函數(shù)y=g(x)的圖象,求y=g(x)在(0,
π
2
]
上的取值范圍.
分析:(I)化簡f(x)的解析式為sin(2x+
π
3
)+
3
2
,由2x+
π
3
=kπ+
π
2
,k∈z 求得對稱軸方程;令sin(2x+
π
3
)
=0 可得 2x+
π
3
=kπ,k∈z,解得 x的值,即為對稱中心的橫坐標(biāo),再由對稱中心的縱坐標(biāo)為
3
2
求出對稱中心坐標(biāo).
(II)求出g(x)=sin(2x-
π
6
)+
3
.根據(jù)0<x≤
π
2
,可得-
π
6
<2x-
π
6
6
,故-
1
2
<sin(2x-
π
6
)≤1,從而求得g(x)的值域.
解答:解:(I)函數(shù)f(x)=sinxcosx-
3
cos(x+π)cosx
=
1
2
sin2x+
3
2
cos2x=sin(2x+
π
3
)+
3
2

由2x+
π
3
=kπ+
π
2
,k∈z 求得對稱軸方程為x=
π
12
+
2
,k∈Z

sin(2x+
π
3
)
=0 可得 2x+
π
3
=kπ,k∈z,解得 x=-
π
6
+
2

故對稱中心坐標(biāo)為(-
π
6
+
2
,
3
2
),k∈Z

(II)函數(shù)y=f(x)的圖象按
b
=(
π
4
,
3
2
)
平移后得到函數(shù)y=g(x)=sin[2(x-
π
4
)+
π
3
]+
3
2
+
3
2
 
=sin(2x-
π
6
)+
3

再由 0<x≤
π
2
,可得-
π
6
<2x-
π
6
6
,∴-
1
2
<sin(2x-
π
6
)≤1,
-
1
2
+
3
<sin(2x-
π
6
)+
3
≤1+
3

故y=g(x)在(0,
π
2
]
上的取值范圍是(-
1
2
+
3
,1+
3
]
點(diǎn)評:本題主要考查函數(shù)y=Asin(ωx+∅)的圖象變換,三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值,正弦函數(shù)的定義域和值域,三角函數(shù)的對稱性,屬于中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=sinx+tanx,x∈(-
π
2
,
π
2
)
,項(xiàng)數(shù)為25的等差數(shù)列an且公差d≠0,若f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(a25)=0,則i=
 
有f(ai)=0.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=sinx•cosx+
3
cos2x

(1)求f(x)的最小正周期;
(2)已知f(α)=
1
3
+
3
2
,α∈(
π
12
π
3
)
,求cos2α.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=sinx-
3
cosx+x+1

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)在x=0處的切線方程;
(Ⅱ)記△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為a、b、c,f′(B)=3且a+c=2,求邊長b的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=|sinx+
2
3+sinx
+m|(x∈R,m∈R)
最大值為g(m),則g(m)的最小值為
3
4
3
4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知設(shè)函數(shù)
f(x)=
sinx,(0≤x≤
π
2
)
-
π
2
x+2,(
π
2
<x≤π)
π
0
f(x)dx
=
-
π3
4
+π+1
-
π3
4
+π+1

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