Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若曲線與直線相切，求實(shí)數(shù)的值；

（2）記，求在上的最大值；

（3）當(dāng)時(shí)，試比較與的大小.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ；（3）.

【解析】試題分析：（1）研究函數(shù)的切線主要是利用切點(diǎn)作為突破口求解；（2）通過討論函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性確定最值，要注意對(duì)字母m的討論；（3）比較兩個(gè)函數(shù)的大小主要是轉(zhuǎn)化為判斷兩個(gè)函數(shù)的差函數(shù)的符號(hào)，然后轉(zhuǎn)化為研究差函數(shù)的單調(diào)性研究其最值．

試題解析：（1）設(shè)曲線與相切于點(diǎn)，

由，知，解得，

又可求得點(diǎn)為，所以代入，得.

（2）因?yàn)?/span>，所以.

①當(dāng)，即時(shí)， ，此時(shí)在上單調(diào)遞增，

所以；

②當(dāng)即，當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞增， .

（i）當(dāng)，即時(shí)， ；

（ii）當(dāng)，即時(shí)， ；

③當(dāng)，即時(shí)， ，此時(shí)在上單調(diào)遞減，

所以.

綜上，當(dāng)時(shí)， ；

當(dāng)時(shí)， .

（3）當(dāng)時(shí)， ，

①當(dāng)時(shí)，顯然；

②當(dāng)時(shí)， ，

記函數(shù)，

則，可知在上單調(diào)遞增，又由知， 在上有唯一實(shí)根，且，則，即（*），

當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞增，

所以，

結(jié)合（*）式，知，

所以，

則，即，所以.

綜上， .