Question

設函數(shù)f（x）=+，
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并給出證明；
（3）已知函數(shù)f（x）的反函數(shù)f^-1（x），問函數(shù)y=f^-1（x）的圖象與x軸有交點嗎？若有，求出交點坐標；若無交點，說明理由．

Answer 1

解：（1）由3x+5≠0且＞0，解得x≠-且-＜x＜．取交集得-＜x＜．
（2）令μ（x）=3x+5，隨著x增大，函數(shù)值減小，所以在定義域內(nèi)是減函數(shù)；
=-1+隨著x增大，函數(shù)值減小，所以在定義域內(nèi)是減函數(shù)．
又y=lgx在定義域內(nèi)是增函數(shù)，根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性可知，y=是減函數(shù)，所以f（x）=+是減函數(shù)．
（3）因為直接求f（x）的反函數(shù)非常復雜且不易求出，于是利用函數(shù)與其反函數(shù)之間定義域與值域的關(guān)系求解．
設函數(shù)f（x）的反函數(shù)f^-1（x）與x軸的交點為（x₀，0）．根據(jù)函數(shù)與反函數(shù)之間定義域與值域的關(guān)系可知，f（x）與y軸的交點是（0，x₀），將（0，x₀）代入f（x），解得x₀=．
所以函數(shù)y=f^-1（x）的圖象與x軸有交點，交點為（，0）．
分析：（1）讓分母不為0且真數(shù)大于0求解即可．
（2）把f（x）分成兩個函數(shù)，分別求單調(diào)性，再利用復合函數(shù)的單調(diào)性即可．
（3）利用函數(shù)與其反函數(shù)之間定義域與值域的關(guān)系，把函數(shù)y=f^-1（x）的圖象與x軸有無交點的問題轉(zhuǎn)化為f（x）與y軸的交點問題即可．
點評：本題綜合考查了函數(shù)的定義域，單調(diào)性和互為反函數(shù)的兩函數(shù)之間的關(guān)系．在求復合函數(shù)的單調(diào)性時，遵循的原則是單調(diào)性相同復合函數(shù)為增函數(shù)，單調(diào)性相反復合函數(shù)為減函數(shù)．