Question

已知f(x)=

x

+

1

x

+

x+ 1 x +1

及g(x)=

x

+

1

x

-

x+ 1 x +1

．
（1）分別求f（x）、g（x）的定義域，并求f（x）•g（x）的值；（2）求f（x）的最小值并說明理由；
（3）若a=

x2+x+1

 ， b=t

x

 ， c=x+1，是否存在滿足下列條件的正數(shù)t，使得對于任意的正
數(shù)x，a、b、c都可以成為某個三角形三邊的長？若存在，則求出t的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用被開放數(shù)大于0可求函數(shù)的定義域，直接相乘化簡即可；   
（2）先考慮

x

+

1

x

≥2，再說明函數(shù)y=

x

+

1

x

與y=

x+ 1 x +1

在（-∞，1]上均為減函數(shù)，在[1，+∞）上均為增函數(shù)，從未求出函數(shù)的最小值．
（3）利用構(gòu)成三角形的條件，轉(zhuǎn)化為恒成立問題利用（1）（2）的結(jié)論可確定．

解答：解：（1）f（x）、g（x）的定義域均為（0，+∞）；…（2分）
   f(x)•g(x)=( 

x

+

1

x

 )2-( x+

1

x

+1 )=1．…（4分）
（2）∵

x

+

1

x

≥2，∴( 

x

+

1

x

 )2≥4⇒x+

1

x

≥2．…（7分）
易知函數(shù)y=

x

+

1

x

與y=

x+ 1 x +1

在（-∞，1]上均為減函數(shù)，在[1，+∞）上均為增函數(shù)，
∴f(x)min=f(1)=2+

3

．…（10分）
（3）∵a=

x2+x+1

＜x+1=c，…（11分）
∴若能構(gòu)成三角形，只需

x2+x+1 +t x ＞x+1 x2+x+1 +(x+1)＞t x

⇒

t＞ x + 1 x - x+ 1 x +1 t＜ x + 1 x + x+ 1 x +1

恒成立．…（13分）
由（1）知，f(x)•g(x)=1⇒g(x)=

1

f(x)

，
∵f(x)≥2+

3

，∴g(x)=

1

f(x)

≤2-

3

，即t＞2-

3

．…（15分）
由（2）知，f(x)≥2+

3

，∴t＜2+

3

．…（17分）
綜上，存在t∈( 2-

3

 ， 2+

3

 )，滿足題設(shè)條件．…（18分）

點評：本題主要考查利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的最值，將是否存在性問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題時解題的關(guān)鍵．