Question

20．已知點(diǎn)A（-1，0），B（1，0），△ABC的周長(zhǎng)為6．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡E的方程；
（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)B（1，0）的直線(xiàn)l與曲線(xiàn)E相交于不同的兩點(diǎn)M，N．若點(diǎn)P在y軸上，且|PM|=|PN|，求點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知結(jié)合橢圓定義求得動(dòng)點(diǎn)C的軌跡E的方程；
（Ⅱ）當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為0．當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=k（x-1）．聯(lián)立直線(xiàn)方程和橢圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求得MN的中點(diǎn)坐標(biāo)，寫(xiě)出MN的垂直平分線(xiàn)方程，取x=0求得P的縱坐標(biāo)，結(jié)合基本不等式求得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由題意可知，|CA|+|CB|=4，
故動(dòng)點(diǎn)C的軌跡E是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓．
設(shè)其方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，則2a=4，a=2，c=1，$b=\sqrt{3}$．
∴橢圓的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$（x≠±2）；
（Ⅱ）當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為0．
當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=k（x-1）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-1）\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$得，（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0．
△=144（1+k²）＞0．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$．
設(shè)MN的中點(diǎn)為Q，則${x_Q}=\frac{{4{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$，${y_Q}=k（{x_Q}-1）=\frac{-3k}{{3+4{k^2}}}$，
∴$Q（\frac{{4{k^2}}}{{3+4{k^2}}}，-\frac{3k}{{3+4{k^2}}}）$．
由題意可知k≠0，
又直線(xiàn)MN的垂直平分線(xiàn)的方程為$y+\frac{3k}{{3+4{k^2}}}=-\frac{1}{k}（x-\frac{{4{k^2}}}{{3+4{k^2}}}）$．
令x=0，解得${y_P}=\frac{k}{{3+4{k^2}}}=\frac{1}{{4k+\frac{3}{k}}}$．
當(dāng)k＞0時(shí)，$4k+\frac{3}{k}≥4\sqrt{3}$，∴$0＜{y_P}≤\frac{{\sqrt{3}}}{12}$；
當(dāng)k＜0時(shí)，$4k+\frac{3}{k}≤-4\sqrt{3}$，∴$-\frac{{\sqrt{3}}}{12}≤{y_P}＜0$．
綜上所述，點(diǎn)P縱坐標(biāo)的取值范圍是$[-\frac{{\sqrt{3}}}{12}，\frac{{\sqrt{3}}}{12}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了直線(xiàn)與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．