Question

【題目】已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù).

(1) 求實數(shù)的值；

(2) 判斷并用定義證明該函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；

(3) 若方程在內(nèi)有解，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）見解析；（3）[-1，3）.

【解析】

(1)根據(jù)解得，再利用奇偶性的定義驗證，即可求得實數(shù)的值；(2)先對分離常數(shù)后，判斷出為遞減函數(shù)，再利用單調(diào)性的定義作差證明即可；(3)先用函數(shù)的奇函數(shù)性質(zhì)，再用減函數(shù)性質(zhì)變形，然后分離參數(shù)可得，在內(nèi)有解，令，只要.

（1）依題意得，，故，此時，

對任意均有，

所以是奇函數(shù)，所以.

（2）在上是減函數(shù)，證明如下：任取，則

所以該函數(shù)在定義域上是減函數(shù)．

（3）由函數(shù)為奇函數(shù)知，

，

又函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù)，從而，

即方程在內(nèi)有解，

令，只要，

， 且，∴

∴當時，原方程在內(nèi)有解．