【題目】數(shù)列的前項和為,且是和的等差中項,等差數(shù)列滿足,.
(1)求數(shù)列、的通項公式;
(2)設(shè),數(shù)列的前項和為,證明:.
【答案】(1),;(2)證明過程詳見解析.
【解析】
試題分析:本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念、通項公式、前項和公式、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識,考查運算能力、推理論證能力.第一問,先利用是和的等差中項,得到,由求,注意的情況,不要漏掉,會得到為等比數(shù)列,利用等比數(shù)列的通項公式,求和公式直接寫出和,再利用已知求出,寫出等差數(shù)列的通項公式;第二問,先化簡表達(dá)式,利用裂項相消法求和求,利用放縮法比較與的大小,作差法判斷數(shù)列的單調(diào)性,因為數(shù)列為遞增數(shù)列,所以最小值為,即,所以.
試題解析:(1)∵是和的等差中項,∴
當(dāng)時,,∴
當(dāng)時,,
∴ ,即 3分
∴數(shù)列是以為首項,為公比的等比數(shù)列,
∴, 5分
設(shè)的公差為,,,∴
∴ 6分
(2) 7分
∴ 9分
∵,∴ 10分
∴數(shù)列是一個遞增數(shù)列 ∴.
綜上所述, . 12分
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【題目】已知A(3,0),B(0,3)C(cosα,sinα),O為原點.
(1)若∥ , 求tanα的值;
(2)若 , 求sin2α的值.
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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(, 為參數(shù)),在以為極點, 軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線是圓心在極軸上,且經(jīng)過極點的圓.已知曲線上的點對應(yīng)的參數(shù),射線與曲線交于點.
(Ⅰ)求曲線的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)若點, 在曲線上,求的值.
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【題目】若函數(shù)f(x)=kax﹣a﹣x(a>0且a≠1)在(﹣∞,+∞)上既是奇函數(shù)又是增函數(shù),則函數(shù)g(x)=loga(x+k)的圖象是( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】某校從高一年級學(xué)生中隨機(jī)抽取40名中學(xué)生,將他們的期中考試數(shù)學(xué)成績(滿分100分,成績均為不低于40分的整數(shù))分成六段: , ,…, ,得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求圖中實數(shù)的值;
(2)若該校高一年級共有640人,試估計該校高一年級期中考試數(shù)學(xué)成績不低于60分的人數(shù);
(3)若從數(shù)學(xué)成績在與兩個分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)選取2名學(xué)生,求這2名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之差的絕對值不大于10的概率.
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【題目】經(jīng)國務(wù)院批復(fù)同意,鄭州成功入圍國家中心城市,某校學(xué)生團(tuán)針對“鄭州的發(fā)展環(huán)境”對20名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查打分(滿分100分),得到如圖1所示莖葉圖.
(1)分別計算男生女生打分的平均分,并用數(shù)學(xué)特征評價男女生打分的數(shù)據(jù)分布情況;
(2)如圖2按照打分區(qū)間繪制的直方圖中,求最高矩形的高;
(3)從打分在70分以下(不含70分)的同學(xué)中抽取3人,求有女生被抽中的概率.
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【題目】如圖,在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,P為對角線BD1的三等分點,P到各頂點的距離的不同取值有( 。
A.3個
B.4個
C.5個
D.6個
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【題目】如圖,正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,M、N分別為棱C1D1、C1C的中點,有以下四個結(jié)論:
①直線AM與CC1是相交直線;
②直線AM與BN是平行直線;
③直線BN與MB1是異面直線;
④直線AM與DD1是異面直線.
其中正確的結(jié)論為 (注:把你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號都填上).
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【題目】設(shè)函數(shù)f(x)= , 若對任意給定的t∈(1,+∞),都存在唯一的x∈R,滿足f(f(x))=2at2+at,則正實數(shù)a的最小值是( 。
A.1
B.
C.
D.
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