Question

一個袋子中裝有m個紅球和n個白球（m＞n≥4），它們除顏色不同外，其余都相同，現(xiàn)從中任取兩個球．
（1）若取出兩個紅球的概率等于取出一紅一白兩個球的概率的整數(shù)倍，求證：m必為奇數(shù)；
（2）若取出兩個球顏色相同的概率等于取出兩個顏色不同的概率，求滿足m+n≤20的所有數(shù)組（m，n）．

Answer 1

分析：（1）首先分別求出從中取出兩個紅球的概率與取出一紅一白兩個球的概率之和，再根據(jù)題意列方程組并且進(jìn)行整理可得：m-1=2nk，進(jìn)而根據(jù)奇偶數(shù)的特征得到答案．
（2）首先由題意可得：取出兩個球顏色相同的概率，再求出取出兩個球的顏色不同（即兩個球的顏色是一紅一白）的概率，即可得到方程（m-n）²=m+n，再結(jié)合題中的條件求出m-n的取值是3，4，進(jìn)而得到相應(yīng)m+n的取值分別是9，16，再結(jié)合m＞n≥4求出答案．

解答：證明：（1）由題意可得：從中任取兩個球的不同取法共有：C_m+n²種，
取出兩個紅球的不同取法有：C_m²=

m(m-1)

2

，
所以取出兩個紅球的概率為：

C 2 m

C 2 m+n

；
取出一紅一白兩個球的不同取法為：C_m¹C_n¹，
所以取出一紅一白兩個球的概率為：

C 1 m C 1 n

C 2 m+n

，
又因為取出兩個紅球的概率等于取出一紅一白兩個球的概率的整數(shù)倍，
所以

C 2 m

C 2 m+n

=k

C 1 m C 1 n

C 2 m+n

，即m-1=2nk，
因為2nk為偶數(shù)，
所以m-1為偶數(shù)，即m為奇數(shù)．
解：（2）由題意可得：取出兩個球顏色相同即兩個球都是紅色或者都是白色，
因為取出兩個白球的不同取法有：

C

2 n

 =

n(n-1)

2

，
所以取出兩個白球的概率為：

C 2 n

C 2 m+n

，
由（1）可得：取出兩個紅球的概率為：

C 2 m

C 2 m+n

；
所以取出兩個球顏色相同的概率等于

C 2 m + C 2 n

C 2 m+n

；
取出兩個球的顏色不同即兩個球的顏色是一紅一白，
由（1）可得：取出一紅一白兩個球的概率為：

C 1 m C 1 n

C 2 m+n

．
因為取出兩個球顏色相同的概率等于取出兩個顏色不同的概率，
所以

C 2 m + C 2 n

C 2 m+n

=

C 1 m C 1 n

C 2 m+n

，即（m-n）²=m+n，
因為m＞n≥4，
所以m+n＞8，
又因為m+n≤20，
所以2

2

∠m-n≤

20

＜5，m-n的取值只可能是3，4，
所以相應(yīng)m+n的取值分別是9，16，
可得 

m=6 n=3

或

m=10 n=6

，
因為m＞n≥4，
所以（m，n）的數(shù)組值為（10，6）．

點(diǎn)評：本題主要考查等可能事件的概率公式與排列、組合、計數(shù)原理的有關(guān)問題，解決此題的關(guān)鍵是挖掘題中的隱含條件以及熟練掌握組合數(shù)與排列數(shù)的計算公式，此題對學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識靈活解決問題的能力要求較高，考查學(xué)生的計算能力，此題屬于中檔題目．