Question

已知函數f(x)=2lnx+k(x-

1

x

)(k∈R)．
（1）當k=-1時，求函數y=f（x）的單調區(qū)間；
（2）求證：當k≤-1時，對所有的x＞0且x≠1都有

1

x2-1

f(x)＜0成立．

Answer 1

分析：（1）將k=-1代入求出函數，利用f′（x）＞0求出增區(qū)間，利用f′（x）＜0求出減區(qū)間，
（2）求出導函數，利用放縮法判斷出導函數的單調性，利用單調性判斷出f（x）的正負即可．

解答：解：（1）當k=-1時，f(x)=2lnx-x+

1

x

(x＞0)
∵f′(x)=

2

x

-1-

1

x2

=

-x2+2x-1

x2

=-

(x-1)2

x2

≤0
∴f（x）的減區(qū)間為（0，+∞），無增區(qū)間，
（2）證明：f′(x)=

2

x

+k+

k

x2

=

k(x2+1)+2x

x2

（x＞0且x≠1），
∵x²+1＞2x，k≤-1，
∴k（x²+1）+2x＜2kx+2x=2x（k+1）≤0，
故f（x）在（0，1）和（1，+∞）上均單調遞減，
當x∈（0，1）時，f（x）＞f（1）=0，而

1

x2-1

＜0，則

1

x2-1

f(x)＜0，
當x∈（1，+∞）時，f（x）＜f（1）=0，而

1

x2-1

＞0，則

1

x2-1

f(x)＜0，
綜上可知，當k≤-1時，對所有的x＞0且x≠1，都有

1

x2-1

f(x)＜0．

點評：本題考查了利用導函數求函數的單調區(qū)間，利用放縮法確定函數的取值范圍，綜合性較強，有一定難度．