Question

△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，已知A=60°，a=7，現(xiàn)有以下判斷：
①b+c不可能等于15；
②若

AB

•

AC

=12，則S_△ABC=6

3

；
③若b=

3

，則B有兩解．
請(qǐng)將所有正確的判斷序號(hào)填在橫線上

 

．

Answer 1

分析：①利用反證法證明，先假設(shè)b+c=15，表示出b，然后利用余弦定理列出關(guān)于c的方程，算出△小于0，得到方程無(wú)解，所以假設(shè)錯(cuò)誤，原命題正確；
②利用平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則，由已知求出bc的值，然后利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積，作出判斷．
③由a，sinA及b的值，利用正弦定理即可求出sinB的值，根據(jù)B的范圍，即可判斷出B解得個(gè)數(shù)．

解答：解：①假設(shè)b+c=15，則b=15-c，由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA得：
49=（15-c）²+c²-（15-c）c，即3c²-35c+176=0，
因?yàn)椤?1225-2112=-887＜0，所以此方程無(wú)解，
故假設(shè)錯(cuò)誤，則b+c不可能等于15，本選項(xiàng)正確；
②根據(jù)

AB

•

AC

=bccos60°=

1

2

bc=12，得到bc=24，
則S_△ABC=

1

2

bcsin60°=6

3

，本選項(xiàng)正確；
③由sinA=sin60°=

3

2

，a=7，b=

3

，根據(jù)正弦定理得：

7

3 2

=

3

sinB

，得到sinB=

3

14

，又B＜120°，所以B=arcsin

3

14

，即B有一個(gè)解，本選項(xiàng)錯(cuò)誤，
所以正確的判斷序號(hào)為：①②．
故答案為：①②

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生掌握平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則，靈活運(yùn)用正弦定理及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)求值，是一道中檔題．