Question

【題目】已知函數(shù)在處取得極值．

求函數(shù)的解析式；

若過(guò)點(diǎn)可作曲線的三條切線，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：

由題意可得，故可得到a、b的方程組，求解即可；

由題意知，點(diǎn)A不在曲線上，故設(shè)出切點(diǎn)為，根據(jù)切點(diǎn)在曲線上和導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立等量關(guān)系，得到，由題意知該方程有3個(gè)解，故將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的極大值和極小值異號(hào)的問(wèn)題，解不等式組可求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

試題解析：

（1）∵，

∴，

由題意得，解得．

．

（2）由（1）得，

曲線方程為，

點(diǎn)不在曲線上．

設(shè)切點(diǎn)為，

則，

切線的斜率為，

整理得

過(guò)點(diǎn)可作曲線的三條切線，

關(guān)于方程有三個(gè)實(shí)根．

設(shè)，則，

由，解得或．

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．

∴當(dāng)時(shí)，有極大值，且極大值為；

當(dāng)時(shí)，有極小值，且極小值為．

由題意得，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，

∴ ，解得．

故所求的實(shí)數(shù)a的取值范圍是．