Question

函數(shù)y=5

x-1

+

10-2x

的最大值是

6

3

．

Answer 1

分析：法一：利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出；
法二：利用向量數(shù)量積的性質(zhì)

a

•

b

≤|

a

| |

b

|．即可得出．

解答：解：法一：由

x-1≥0 10-2x≥0

解得1≤x≤5，∴函數(shù)y=5

x-1

+

10-2x

的，定義域為[1，5]．
y′=

5

2 x-1

-

1

10-2x

=

5 10-2x -2 x-1

2 x-1 10-2x

，
令y′=0，解得x=

127

27

．
當(dāng)x∈[1，

127

27

]時，y′＞0，此時函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈[

127

27

，5]時，y′＜0，此時函數(shù)單調(diào)遞減．
因此函數(shù)在x=

127

27

時取得最大值，y=5

127 27 -1

+

10-2× 127 27

=6

3

．
法二：令

a

=(5，

2

)，

b

=(

x-1

，

5-x

)，定義域為[1，5]．
∵

a

•

b

≤|

a

| |

b

|．
∴函數(shù)y=5

x-1

+

10-2x

=5•

x-1

+

2

•

5-x

≤

52+( 2 )2

•

( x-1 )2+( 5-x )2

=6

3

．
當(dāng)且僅當(dāng)

a

與

b

同向共線取等號，此時滿足5

5-x

=

2

x-1

，解得x=

127

27

時取等號．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值、利用向量數(shù)量積的性質(zhì)求最值等基礎(chǔ)知識與基本方法，屬于中檔題．