（2013•深圳一模）如圖1，⊙O的直徑AB=4，點(diǎn)C、D為⊙O上兩點(diǎn)，且∠CAB=45°，∠DAB=60°，F(xiàn)為
BC
的中點(diǎn)．沿直徑AB折起，使兩個(gè)半圓所在平面互相垂直（如圖2）．
（1）求證：OF∥平面ACD；
（2）求二面角C-AD-B的余弦值；
（3）在
BD
上是否存在點(diǎn)G，使得FG∥平面ACD？若存在，試指出點(diǎn)G的位置，并求直線AG與平面ACD所成角的正弦值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
分析：（1）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB所在直線為y軸，以O(shè)C所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出向量
AC
與
OF
的坐標(biāo)，利用向量共線的坐標(biāo)表示求證OF∥AC，從而說明線面平行；
（2）根據(jù)，∠DAB=60°求出D點(diǎn)坐標(biāo)，然后求出平面ACD的一個(gè)法向量，找出平面ADB的一個(gè)法向量，利用兩平面法向量所成角的余弦值求解二面角C-AD-B的余弦值；
（3）假設(shè)在
BD
上存在點(diǎn)G，使得FG∥平面ACD，根據(jù)（1）中的結(jié)論，利用兩面平行的判定定理得到平面OFG∥平面ACD，
從而得到OG∥AD，利用共線向量基本定理得到G的坐標(biāo)（含有參數(shù)），然后由向量
OG
的模等于圓的半徑求出G點(diǎn)坐標(biāo)，最后利用向量
AG
與平面ACD的法向量所成角的關(guān)系求直線AG與平面ACD所成角的正弦值．
解答：（1）證明：如圖，因?yàn)椤螩AB=45°，連結(jié)OC，則OC⊥AB．
以AB所在的直線為y軸，以O(shè)C所在的直線為z軸，以O(shè)為原點(diǎn)，作空間直角坐標(biāo)系O-xyz，
則A（0，-2，0），C（0，0，2）．

AC
=(0，0，2)-(0，-2，0)=(0，2，2)，
∵點(diǎn)F為
BC
的中點(diǎn)，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0，
2
，
2
)，
OF
=(0，
2
，
2
)．∴
OF
=
2
2
AC
，即OF∥AC．
∵OF?平面ACD，AC?平面ACD，∴OF∥平面ACD．
（2）解：∵∠DAB=60°，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)D(
3
，1，0)，
AD
=(
3
，1，0)．
設(shè)二面角C-AD-B的大小為θ，
n1
=(x，y，z)為平面ACD的一個(gè)法向量．
由
n1
•
AC
=0
n1
•
AD
=0
有
(x，y，z)•(0，2，2)=0
(x，y，z)•(
3
，1，0)=0
即
2y+2z=0
3
x+y=0.

取x=1，解得y=-
3
，z=
3
．∴
n1
=(1，-
3
，
3
)． 
取平面ADB的一個(gè)法向量
n2
=（0，0，1），
∴cosθ=
|
n1
•
n2
|
|
n1
|•|
n2
|
=
|1×0+(-
3
)×0+
3
×1|
7
•1
=
21
7
．
（3）設(shè)在
BD
上存在點(diǎn)G，使得FG∥平面ACD，∵OF∥平面ACD，∴平面OFG∥平面ACD，則有OG∥AD．
設(shè)
OG
=λ
AD
(λ＞0)，∵
AD
=(
3
，1，0)，∴
OG=
(
3
λ，λ，0)．
又∵|
OG
|=2，∴
(
3
λ)2+λ2+02
=2，解得λ=±1（舍去-1）．∴
OG
=(
3
，1，0)，則G為
BD
的中點(diǎn)．
因此，在
BD
上存在點(diǎn)G，使得FG∥平面ACD，且點(diǎn)G為
BD
的中點(diǎn)．
設(shè)直線AG與平面ACD所成角為α，∵
AG
=(
3
，1，0)-(0，-2，0)=(
3
，3，0)，
根據(jù)（2）的計(jì)算
n1
=(1，-
3
，
3
)為平面ACD的一個(gè)法向量，
∴sinα=cos(90°-α)=
|
AG
•
n1
|
|
AG
|•|
n1
|
=
|
3
×1+3×(-
3
)+0×
3
|
2
3
×
7
=
7
7
．
因此，直線AG與平面ACD所成角的正弦值為
7
7
．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，線面角、二面角及三角函數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，考查用向量方法解決數(shù)學(xué)問題的能力，此題是中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
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（2013•深圳一模）已知函數(shù)f（x）=ax+x2-xlna-b（a，b∈R，a＞1），e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（1）試判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性；
（2）當(dāng)a=e，b=4時(shí)，求整數(shù)k的值，使得函數(shù)f（x）在區(qū)間（k，k+1）上存在零點(diǎn)；
（3）若存在x1，x2∈[-1，1]，使得|f（x1）-f（x2）|≥e-1，試求a的取值范圍．

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（2013•深圳一模）（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．曲線C1的參數(shù)方程為
x=
t
y=t+1.
（t為參數(shù)），曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρsinθ-ρcosθ=3，則C1與C2交點(diǎn)在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為
（2，5）
（2，5）
．

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（2013•深圳一模）設(shè)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=log3（1+x），則f（-2）=（　�。�

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（2013•深圳一模）已知函數(shù)f(x)=2sin(
πx
6
+
π
3
)(0≤x≤5)，點(diǎn)A、B分別是函數(shù)y=f（x）圖象上的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)以及
OA
•
OB
的值；
（2）設(shè)點(diǎn)A、B分別在角α、β的終邊上，求tan（α-2β）的值．

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（2013•深圳一模）已知數(shù)列{an}滿足：a1=1，a2=a（a≠0），an+2=p•
an+12
an
（其中p為非零常數(shù)，n∈N*）．
（1）判斷數(shù)列{
an+1
an
}是不是等比數(shù)列？
（2）求an；
（3）當(dāng)a=1時(shí)，令bn=
nan+2
an
，Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，求Sn．

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