Question

某潛水員身背氧氣瓶潛入湖底進(jìn)行考察，氧氣瓶形狀如圖，其結(jié)構(gòu)為一個(gè)圓柱和一個(gè)圓臺的組合（設(shè)氧氣瓶中氧氣已充滿，所給尺寸是氧氣瓶的內(nèi)徑尺寸），潛水員在潛入水下a米的過程中，速度為v米/分，每分鐘需氧量與速度平方成正比（當(dāng)速度為1米/分時(shí)，每分鐘需氧量為0.2L）；在湖底工作時(shí)，每分鐘需氧量為0.4L；返回水面時(shí)，速度也為v米/分，每分鐘需氧量為0.2L，若下潛與上浮時(shí)速度不能超過p米/分，試問潛水員在湖底最多能工作多少時(shí)間？（氧氣瓶體積計(jì)算精確到1L，a、p為常數(shù)，圓臺的體積V=

1

3

πh(r2+rR+R2)，其中h為高，r、R分別為上、下底面半徑．）

Answer 1

分析：氧氣瓶中氧氣的體積V=V_圓柱+V_圓臺=π×10²×50+π×10×

1

3

(4+20+100)≈5413π≈16997(cm3)≈17 L．設(shè)潛入水下a米過程中的每分鐘需氧量為Q，則Q=kv²，因當(dāng)速度為1 m/分時(shí)，每分鐘需氧量0.2 L，所以k=0.2，故來回途中需氧量為a×0.2v+a×

0.2

v

，v∈(0，p]，則在湖底的工作時(shí)間為

1

0.4

[17-(0.2av+

0.2a

v

)]．由此能夠求出潛水員在湖底最多能工作多少時(shí)間．

解答：解：氧氣瓶中氧氣的體積
V=V_圓柱+V_圓臺=π×10²×50+π×10×

1

3

(4+20+100)≈5413π≈16997(cm3)≈17 L．
設(shè)潛入水下a米過程中的每分鐘需氧量為Q，則Q=kv²，
因當(dāng)速度為1 m/分時(shí)，每分鐘需氧量0.2 L，所以k=0.2，
故來回途中需氧量為a×0.2v+a×

0.2

v

，v∈(0，p]，
則在湖底的工作時(shí)間為

1

0.4

[17-(0.2av+

0.2a

v

)]，
∵0.2av+

0.2

v

≥0.4a，…..（6分）
當(dāng)且僅當(dāng)，v=1時(shí)取等號．
所以①當(dāng)p≥1時(shí)，

1

0.4

[17-(0.2av+

0.2a

v

)]的最大值是42.5-a．
②當(dāng)p＜1時(shí)，v∈（0，p]，
∵v≤p＜1，vp≤p²＜1，

1

0.4

[17-(0.2av+

0.2a

v

)]-

1

0.4

[17-(0.2ap+

0.2a

p

)]=

a

2

(p-v)(

vp-1

vp

)≤0，
即當(dāng)v=p時(shí)，在湖底的工作時(shí)間的最大值為

1

0.4

[17-(0.2ap+

0.2a

p

)]，
因此，當(dāng)p≥1時(shí)，潛水員在湖底最多能工作42.5-a分鐘；
當(dāng)p＜l時(shí)，潛水員在湖底最多能工作

1

0.4

[17-(0.2ap+

0.2a

p

)]分鐘．…（14分）

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)模型的選擇和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，恰當(dāng)?shù)亟�立方程．易錯點(diǎn)是弄不清數(shù)量間的相互關(guān)系，導(dǎo)致建立方程出錯．