已知ABCD-A
1B
1C
1D
1是底面邊長為1的正四棱柱，O
1為A
1C
1與B
1D
1的交點(diǎn)．
（1）設(shè)AB
1與底面A
1B
1C
1D
1所成角的大小為α，二面角A-B
1D
1-A
1的大小為β．求證：
tanβ=tanα；
（2）若點(diǎn)C到平面AB
1D
1的距離為
，求正四棱柱ABCD-A
1B
1C
1D
1的高．
（1）由題意畫出圖形為：
∵ABCD-A
1B
1C
1D
1是底面邊長為1的正四棱柱，
∴底面為正方形且邊長為1，又因?yàn)锳B
1與底面A
1B
1C
1D
1所成角的大小為α，∴
∠AB1A1=α ，tanα=，
又因?yàn)槎娼茿-B
1D
1-A
1的大小為β，且底面邊長為1的正四棱柱，O
1為A
1C
1與B
1D
1的交點(diǎn)，∴∠AO
1A
1=β，∴
tanβ= 而底面A
1B
1C
1D
1為邊長為1的正方形，∴
A1B1= A1O1，∴
tanβ=tanα．
（2）∵O
1為B
1D
1的中點(diǎn)，而△AB
1D
1是以B
1D
1為底邊的等腰三角形，∴AO
1⊥B
1D
1∴B
1D
1⊥平面ACC
1A
1∴平面AB
1D
1⊥平面ACC
1A
1且交線為AO
1，∴點(diǎn)C到平面AB
1D
1的投影點(diǎn)必落在A0
1上即垂足H，在矩形AA
1C
1C中，利用R
t△AA
1O
1∽R
t△CHA 得到
=，而
AH==，∴
=?
=?AA
1=2，
故正四棱錐的高為AA
1=2．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
已知正方體ABCD-A
1B
1C
1D
1的棱長為a，
（1）用平面A
1BC
1截去一角后，求剩余部分的體積；
（2）求A
1B和B
1C所成的角．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
如圖所示，已知在正四棱柱ABCD-A
1B
1C
1D
1中，底面邊長AB=2，側(cè)棱BB
1的長為4，E為C
1C上的點(diǎn)，且CE=1，
（1）求證：A
1C⊥平面BDE；
（2）求A
1B與平面BDE所成的角的正弦值．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
如圖：已知正方體ABCD-A
1B
1C
1D
1中，點(diǎn)F為A
1D的中點(diǎn)．
（1）求證：A
1B⊥平面AB
1D；
（2）求證：平面A
1B
1CD⊥平面AFC．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
已知ABCD-A
1B
1C
1D
1為正方體，①
(++)2=3()2；②
•(-)=0；③向量
與向量
的夾角是60°；④正方體ABCD-A
1B
1C
1D
1的體積為
|••|．其中正確的命題是
①②
①②
（寫出所有正確命題編號）
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
如圖，已知正四棱柱ABCD-A
1B
1C
1D
1中，底面邊長AB=2，側(cè)棱BB
1的長為4，過點(diǎn)B作B
1C的垂線交側(cè)棱CC
1于點(diǎn)E，交B
1C于點(diǎn)F．
（Ⅰ）求證：A
1C⊥平面BED；
（Ⅱ）求A
1B與平面BDE所成的角的正弦值．
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