已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在(0,+∞)上是減函數(shù),若f(
1
3
)>0>f(
2
)
,則方程f(x)=0的根的個數(shù)是( 。
A、2B、2或1C、3D、2或3
分析:根據(jù)函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性,我們易判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)和(-∞,0)上零點的個數(shù),但由于f(0)的值不確定,故要分類討論出函數(shù)f(x)零點的個數(shù),
即方程f(x)=0的根的個數(shù).
解答:解:∵函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)
∴函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于Y軸對稱
又∵函數(shù)f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù)
f(
1
3
)>0>f(
2
)
,
則函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)上有且只有一個零點
在區(qū)間(-∞,0)上有且只有一個零點
若f(0)=0則函數(shù)有三個零點,此時方程f(x)=0的有3個根;
若f(0)≠0則函數(shù)有兩個零點,此時方程f(x)=0的有2個根;
故選D
點評:本題考查的知識點是函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用,方程根的個數(shù)及分布,其中由于f(0)的值不確定而需要進行分類討論,易被忽略,而錯選A.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
2x+2-x
2
,g(x)=
2x-2-x
2
,
(1)計算:[f(1)]2-[g(1)]2;
(2)證明:[f(x)]2-[g(x)]2是定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=x+
a
x
的定義域為(0,+∞),且f(2)=2+
2
2
.設(shè)點P是函數(shù)圖象上的任意一點,過點P分別作直線y=x和y軸的垂線,垂足分別為M、N.
(1)求a的值.
(2)問:|PM|•|PN|是否為定值?若是,則求出該定值;若不是,請說明理由.
(3)設(shè)O為坐標原點,求四邊形OMPN面積的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=log3
3
x
1-x
,M(x1,y1),N(x2,y2)
是f(x)圖象上的兩點,橫坐標為
1
2
的點P滿足2
OP
=
OM
+
ON
(O為坐標原點).
(Ⅰ)求證:y1+y2為定值;
(Ⅱ)若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)
,其中n∈N*,且n≥2,求Sn;
(Ⅲ)已知an=
1
6
,                          n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
,n≥2
,其中n∈N*,Tn為數(shù)列{an}的前n項和,若Tn<m(Sn+1+1)對一切n∈N*都成立,試求m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=log3
3
x
1-x
,M(x1,y1),N(x2,y2)是f(x)圖象上的兩點,且x1+x2=1.
(1)求證:y1+y2為定值;
(2)若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)(n∈N*,N≥2),求Sn;
(3)在(2)的條件下,若an=
1
6
 ,n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
,n≥2
(n∈N*),Tn為數(shù)列{an}的前n項和.求Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=sin(2x-
π
6
),g(x)=sin(2x+
π
3
),直線y=m與兩個相鄰函數(shù)的交點為A,B,若m變化時,AB的長度是一個定值,則AB的值是( 。

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